Question

Геометрия 9 класс Радиус сектора равен 65 см, его угол равен 30°. Свернув сектор, получили конус. Вычисли радиус конуса.

Answer 1

Радиус сектора равен 65 см, его угол равен 30°. Свернув сектор, получили конус. Вычисли радиус конуса.

Answer 2

Для решения этой задачи, нужно использовать свойство сходства фигур. Сектор и конус подобны, так как сектор можно свернуть в конус.

Угол сектора, равный 30°, соответствует углу вершины конуса (угол конуса). Также, радиус сектора и радиус конуса образуют пропорциональные стороны подобных фигур.

Пусть $r$ - радиус конуса (искомое значение).

Угол конуса ($\theta$) равен 30°.

Угол сектора ($\alpha$) также равен 30°.

Радиус сектора ($R$) равен 65 см.

Теперь используем пропорцию между радиусами сектора и конуса:

$\frac{r}{R} = \frac{\theta_{cone}}{\alpha_{sector}}$

$\frac{r}{65} = \frac{\theta_{cone}}{30}$

Теперь, чтобы найти значение $r$, нужно найти угол конуса ($\theta_{cone}$).

В конусе, угол между радиусом основания и образующей (образующая - это линия, соединяющая вершину конуса с точкой на окружности основания) образует прямой угол (угол между образующей и окружностью основания). Так как у нас вершина конуса была образована из радиуса сектора, то образующая и радиус сектора равны (они совпадают).

Таким образом, угол между радиусом основания и образующей конуса также равен 30°.

А теперь, используя тот же принцип свойства сходства, можно сказать, что углы у основания конуса и у основания сектора также сходные (параллельные). Таким образом, у основания конуса также есть угол 30°.

Итак, у нас есть равнобедренный треугольник с углом в 30°. В этом треугольнике, радиус сектора ($R$) - это боковая сторона треугольника, а радиус конуса ($r$) - это его высота (так как угол между основанием и высотой равен 90°).

Теперь можно использовать тригонометрию, а именно теорему синусов, чтобы найти радиус конуса ($r$):

$\frac{r}{\sin(\theta_{cone})} = \frac{R}{\sin(90^\circ)}$

$r = R \cdot \sin(\theta_{cone})$

$r = 65 \cdot \sin(30^\circ)$

$r \approx 65 \cdot 0.5$

$r \approx 32.5 \text{ см}$

Ответ: радиус конуса примерно 32.5 см.