Question

Найдите объем тела, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей гипотенузу этого треугольника, если известно его катет a прилегающей этого катета угол бета.

Answer 1

Чтобы найти объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей гипотенузу, нужно использовать метод цилиндра с дыркой. Полученная фигура будет похожа на усеченный конус.

Для начала, определим высоту усеченного конуса. Высота конуса будет равна катету a прямоугольного треугольника.

Затем, определим радиусы оснований усеченного конуса. Одно основание будет соответствовать катету a, а другое основание будет соответствовать гипотенузе прямоугольного треугольника.

Радиус большего основания (гипотенуза) равен a, а радиус меньшего основания (катет) можно найти, используя синус угла бета:

Радиус меньшего основания (r) = a * sin(бета)

Теперь, когда у нас есть высота (h) и радиусы оснований (R и r), можем найти объем усеченного конуса с помощью следующей формулы:

V = (1/3) * π * h * (R^2 + R * r + r^2)

Подставим значения и получим ответ:

V = (1/3) * π * a * (a^2 + a * a * sin^2(бета) + a^2 * sin^2(бета))

V = (1/3) * π * a * (a^2 + a^2 * sin^2(бета) + a^2 * sin^2(бета))

V = (1/3) * π * a^3 * (1 + 2 * sin^2(бета))

Таким образом, объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей гипотенузу, равен (1/3) * π * a^3 * (1 + 2 * sin^2(бета)).