Question

Угол между высотой прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу и катетом равен 60°. Другой катет равен 3,6 см. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника. Ответ дайте в сантиметрах. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 4:2. Из вершины прямого угла опущена высота, которая делит гипотенузу на отрезки, меньший из которых равен 3 см. Найдите длину большего отрезка. Ответ дайте в сантиметрах. даю 100 баллов

Answer 1

1)  ΔАВС , ∠С=90° , СН⊥АВ , ∠ АСН=60°,  ВС=3,6 см . Найти: АВ=?

Рассм. ΔАСН.  ∠А=90°-∠АСН=90°-60°=30° .

Рассм. ΔАВС. Катет ВС=3,6 см лежит против угла в 30°, значит он равен половине гипотенузы, то есть ВС=1/2*АВ  ⇒  АВ=2*ВС ,

АВ=2*3,6=7,2 (см) .

Ответ: АВ=7,2 см .

2)  ΔАВС , ∠С=90° , ∠С:∠А=4:2  , СН⊥АВ ,  ВН=3 см . Найти АН .

∠А+∠С=90°  ,  ∠С=4k  , ∠A=2k  ,  4k+2k=90°  ,  6k=90°  ,  k=15° .

∠C=4*15°=60°  ,  ∠A=2*15°=30° .

Рассм. ΔВСН.  ∠ВНС=90° , ∠ВСН=90°-∠В=90°-60°=30° .

Катет ВН=3 см лежит против угла в 30°, тогда гипотенуза в 2 раза больше этого катета:  ВС=2*3=6 см.

Из теоремы Пифагора: СН=√(ВС²-ВН²)=√(36-9)=√27=3√3 (см)

Рассм. ΔАСН. ∠АНС=90° , ∠А=30°  ⇒  катет СН лежит против угла

в 30°  ⇒  АС=2*СН=2*3√3=6√3 (см) .

АН=√(АС²-СН²)=√(36*3-9*3)=√81=9 (см)

Ответ:  АН=9 см .

Answer 2

Давайте решим задачи по порядку:

1. Найдем длину гипотенузы прямоугольного треугольника.

У нас есть информация, что угол между высотой, опущенной на гипотенузу, и одним из катетов равен 60°. Это означает, что мы имеем дело с 30-60-90 треугольником.

В 30-60-90 треугольнике, соотношение сторон равно: сторона против угла 30° : сторона против угла 60° : гипотенуза = 1 : √3 : 2

Пусть катет равен 3,6 см. Тогда гипотенуза будет равна 2 * 3,6 = 7,2 см.

2. Найдем длину большего отрезка, на который делит гипотенузу высота, опущенная из вершины прямого угла.

Пусть длина меньшего отрезка, на который делит гипотенузу высота, равна x см.

Так как у нас прямоугольный треугольник, то применим теорему Пифагора:

(длина меньшего отрезка)^2 + (длина большего отрезка)^2 = (гипотенуза)^2

x^2 + (x + 3)^2 = 7,2^2

x^2 + x^2 + 6x + 9 = 51,84

2x^2 + 6x - 42,84 = 0

Решим квадратное уравнение. Воспользуемся формулой:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 2, b = 6, c = -42,84.

x = (-6 ± √(6^2 - 4 * 2 * (-42,84))) / 2 * 2

x = (-6 ± √(36 + 342,72)) / 4

x = (-6 ± √378,72) / 4

x = (-6 ± 19,46) / 4

Так как отрезок не может иметь отрицательную длину, возьмем только положительное значение:

x = (19,46 - 6) / 4

x = 13,46 / 4

x ≈ 3,36 см

Таким образом, длина большего отрезка равна 3,36 + 3 = 6,36 см.

Ответы:

1. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 7,2 см.
2. Длина большего отрезка, на который делит гипотенузу высота, равна 6,36 см.