Question

В прямоугольном треугольнике ABCABC, изображенном на рисунке, угол AA в два раза меньше угла BB, а гипотенуза ABAB равна 1818. Найдите катет BCBC. ​

Answer 1

Объяснение:

сумма острых углов прямоугольника равна 90°

<A+<B=90°

по условию <В=2<А=>

<А+2<А=90° => 3<А=90° => <А=30°

катет ВС лежит напротив угла 30°,значит катет ВС равен половине гипотенузы АВ: ВС=АВ÷2=18÷3=9см

ответ:9см

Answer 2

Давайте обозначим угол A как 2x, угол B как x, и гипотенузу AB как 18.

Согласно теореме синусов для треугольника ABC:

$\sin A = \frac{BC}{AB}$

Подставляя известные значения, получаем:

$\sin 2x = \frac{BC}{18}$

Мы знаем, что $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, а также известно, что $\sin x = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{18}$.

Таким образом,

$2 \sin x \cos x = \frac{BC}{18}$

Из уравнения $2x = x + x$ следует, что $\cos x = \cos (x + x) = \cos 2x$.

Итак,

$2 \sin x \cos x = \frac{BC}{18}$

$2 \sin x \cos 2x = \frac{BC}{18}$

$2 \cdot \frac{BC}{18} \cdot \cos 2x = \frac{BC}{18}$

Теперь давайте избавимся от дроби, умножив обе стороны на 18:

$2 \cdot BC \cdot \cos 2x = BC$

Делаем следующий шаг:

$2 \cos 2x = 1$

Теперь найдем значение $\cos 2x$:

Известно, что $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$.

Подставляем $\cos x = \cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}$, так как $x$ и $2x$ - это углы прямоугольного треугольника.

Теперь мы можем решить уравнение:

$2 \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{1 + \cos x}{2}\right)^2 - 1\right) = 1$

Упрощаем:

$2 \cdot \left(\frac{1 + \cos x}{2}\right)^2 - 2 = 1$

$(1 + \cos x)^2 - 2 = 1$

$\cos^2 x + 2 \cos x = 0$

$\cos x (\cos x + 2) = 0$

Отсюда получаем два решения:

1. $\cos x = 0$
2. $\cos x = -2$ - недопустимое значение для косинуса.

Таким образом, $\cos x = 0$ означает, что $x = \frac{\pi}{2}$ (или 90 градусов).

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол B = x = 90 градусов.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти второй катет:

$BC^2 = AB^2 - AC^2$

$BC^2 = 18^2 - AC^2$

$BC^2 = 324 - AC^2$

$BC^2 = 324 - BC^2$ (по теореме Пифагора)

$2 \cdot BC^2 = 324$

$BC^2 = 162$

$BC = \sqrt{162} \approx 12.73$

Таким образом, длина катета BC примерно равна 12.73.