Question

знайдіть косинуси кутів трикутника авс і визначте вид цього трикутника якщо А(1-4-1) В(4 7 0) С(-2 1 6)

Answer 1

Применяем теорему косинусов.

cos A = 0,50828           cos B = 0,65576        cos C = 0,31686  

A = 1,0376               В = 0,8556             С = 1,24838  (в радианах)

59,451                 49,022                   71,527               180   это сумма в градусах.

Answer 2

Для знаходження косинусів кутів трикутника АВС спочатку нам потрібно знайти довжини сторін трикутника, а потім застосувати формули косинусів.

Довжини сторін трикутника можна знайти за допомогою формули відстані між двома точками у тривимірному просторі:

Довжина сторони АВ: AB = √[(x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²] = √[(4 - 1)² + (7 - (-4))² + (0 - (-1))²] = √[3² + 11² + 1²] = √(9 + 121 + 1) = √131

Довжина сторони АС: AC = √[(x_C - x_A)² + (y_C - y_A)² + (z_C - z_A)²] = √[(-2 - 1)² + (1 - (-4))² + (6 - (-1))²] = √[(-3)² + (5)² + (7)²] = √(9 + 25 + 49) = √83

Довжина сторони ВС: BC = √[(x_C - x_B)² + (y_C - y_B)² + (z_C - z_B)²] = √[(-2 - 4)² + (1 - 7)² + (6 - 0)²] = √[(-6)² + (-6)² + 6²] = √(36 + 36 + 36) = √108 = 6√3

Тепер застосуємо формули косинусів для кутів трикутника:

1. Кут між сторонами AB і AC: cos(∠BAC) = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC) cos(∠BAC) = (131 + 83 - 108) / (2 * √131 * √83) cos(∠BAC) = (214 - 108) / (2 * √(131 * 83)) cos(∠BAC) = 106 / (2 * √(131 * 83)) cos(∠BAC) ≈ 0.487

2. Кут між сторонами AB і BC: cos(∠ABC) = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC) cos(∠ABC) = (131 + (6√3)² - 83) / (2 * √131 * 6√3) cos(∠ABC) = (131 + 108 - 83) / (2 * √(131 * 108)) cos(∠ABC) = 156 / (2 * √(131 * 108)) cos(∠ABC) ≈ 0.795

3. Кут між сторонами AC і BC: cos(∠ACB) = (AC² + BC² - AB²) / (2 * AC * BC) cos(∠ACB) = (83 + (6√3)² - 131) / (2 * √83 * 6√3) cos(∠ACB) = (83 + 108 - 131) / (2 * √(83 * 108)) cos(∠ACB) = 60 / (2 * √(83 * 108)) cos(∠ACB) ≈ 0.383

Тепер, щоб визначити вид трикутника, перевіримо значення косинусів кутів:

Якщо всі кути трикутника менші за 90 градусів (косинуси кутів додатні), трикутник є гострокутним. Якщо хоча б один кут трикутника дорівнює 90 градусам (косинус дорівнює нулю), трикутник є прямокутним. Якщо хоча б один кут трикутника більший за 90 градусів (косинус дорівнює від'ємному числу), трикутник є тупокутним.

Таким чином: cos(∠BAC) ≈ 0.487 - Гострокутний кут при вершині A. cos(∠ABC) ≈ 0.795 - Гострокутний кут при вершині B. cos(∠ACB) ≈ 0.383 - Гострокутний кут при вершині C.

Отже, трикутник АВС є гострокутним трикутником.