Question

Доказать теорему о признаке перпендикулярности прямой и плоскости через векторы ​

Answer 1

Доказать теорему о признаке перпендикулярности прямой и плоскости через векторы ​

Answer 2

Теорема о признаке перпендикулярности прямой и плоскости гласит, что прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой перпендикулярен вектору нормали плоскости.

Для доказательства этой теоремы используем свойства скалярного произведения векторов и уравнения плоскости.

Пусть у нас есть прямая L с направляющим вектором v и проходящая через точку A, и плоскость P с уравнением Ax + By + Cz + D = 0 и нормальным вектором n = (A, B, C).

Шаг 1: Покажем, что если прямая и плоскость перпендикулярны, то v и n перпендикулярны.

Предположим, прямая L и плоскость P перпендикулярны. Возьмем любую точку B(x₀, y₀, z₀) на прямой L и найдем вектор u от точки A до точки B: u = AB = OB - OA = (x₀, y₀, z₀) - OA.

Так как точка B лежит на плоскости P, то вектор n будет перпендикулярен вектору u, так как он будет лежать в плоскости и направлен перпендикулярно к ней.

Тогда скалярное произведение векторов n и u будет равно нулю: n · u = 0.

Так как u = AB = v, получаем: n · v = 0.

Шаг 2: Покажем, что если v и n перпендикулярны, то прямая и плоскость перпендикулярны.

Предположим, v и n перпендикулярны, то есть n · v = 0. Возьмем любую точку B(x₀, y₀, z₀) на прямой L и найдем вектор u от точки A до точки B: u = AB = OB - OA = (x₀, y₀, z₀) - OA.

Так как n и u перпендикулярны (по предположению), а n является нормальным вектором плоскости P, то плоскость P должна быть перпендикулярна вектору u.

Таким образом, прямая L и плоскость P перпендикулярны.

Это завершает доказательство теоремы о признаке перпендикулярности прямой и плоскости через векторы.