Question

Пожалуйста, помогите решить задачу. Периметр правильного четырехугольника, вписанного в окружность, равен 16 см. Найдите периметр треугольника, вписанного в эту же окружность.

Answer 1

Правильный четырехугольник - квадрат.

a - сторона квадрата

a =Pк/4 =16/4 =4

Диагональ квадрата - диаметр описанной окружности.

2R =a√2 =4√2

b - сторона равностороннего треугольника

По теореме синусов

b/sin60 =2R => b =4√2 *√3/2 =2√6

Pт =3b =6√6 (см)

Или

Найдем длину хорды L по радиусу R и центральному углу Ф.

AOB=Ф, OA=OB=R

OH - высота, медиана, биссектриса

AB=2AH, AOH=Ф/2, sin(AOH)=AH/OA

L =AB =2R sin(Ф/2)  

Вершины равностороннего треугольника делят окружность на три равные дуги.

Фт =360/3

Вершины квадрата делят окружность на четыре равные дуги.

Фк =360/4  

Lт/Lк =sin(Фт/2) / sin(Фк/2) =sin60/sin45 =√3/√2

Pт/Pк =3Lт/4Lк

Pт =16 *3/4 *√3/√2 =6√6 (см)

Answer 2

Пусть ABCD - правильный четырехугольник, вписанный в окружность, и его периметр равен 16 см. Тогда каждая сторона четырехугольника равна 4 см, так как периметр равен сумме длин всех сторон.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABD, который также вписан в ту же окружность. Поскольку ABCD - правильный четырехугольник, то угол ABD также является прямым углом (половина правого угла четырехугольника).

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник ABD, в котором гипотенуза (сторона BD) равна половине периметра четырехугольника, то есть 8 см (половина от 16 см), а один из катетов (сторона AB) равен 4 см.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти второй катет (сторону AD):

AD^2 = BD^2 - AB^2 AD^2 = 8^2 - 4^2 AD^2 = 64 - 16 AD^2 = 48

AD = √48 = 4√3 см.

Теперь мы можем найти периметр треугольника ABD:

Периметр = AB + BD + AD Периметр = 4 + 8 + 4√3 ≈ 12 + 4√3 см.

Таким образом, периметр треугольника, вписанного в ту же окружность, составляет примерно 12 + 4√3 см.