Question

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол 45о . Отрезок, соединяющий середину высоты пирамиды с серединой бокового ребра, равен 3 см. Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) боковую поверхность пирамиды.

Answer 1

Давайте обозначим боковое ребро пирамиды через "a".

а) Найдем длину бокового ребра пирамиды ("a").

Пусть "M" - середина высоты пирамиды, "N" - середина бокового ребра.

Так как угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45 градусов, то треугольник "MNT" является прямоугольным треугольником. Также известно, что отрезок, соединяющий середину высоты ("M") с серединой бокового ребра ("N"), равен 3 см.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник "MNT", где "MT" (половина бокового ребра) = 3 см, а угол "M" равен 45 градусов.

Используем тригонометрический соотношения в прямоугольном треугольнике:

1. Тангенс угла "M" (тангенс 45 градусов) равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: tan(45°) = MT / NT

2. Мы знаем, что MT = 3 см: tan(45°) = 3 см / NT

Тангенс 45 градусов равен 1: 1 = 3 см / NT

Теперь найдем значение NT: NT = 3 см

Таким образом, длина бокового ребра "a" равна 2 * NT = 2 * 3 см = 6 см.

б) Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая поверхность пирамиды представляет собой три равнобедренных треугольника, каждый из которых имеет сторону основания ("a") и боковую сторону, равную половине высоты пирамиды (так как "NT" - медиана).

Площадь одного равнобедренного треугольника равна: S_triangle = (a * NT) / 2

Так как у пирамиды три таких треугольника, то общая площадь боковой поверхности пирамиды будет: S_bokovaya_poverhnost = 3 * S_triangle = 3 * (a * NT) / 2

Подставим значение "a" и "NT": S_bokovaya_poverhnost = 3 * (6 см * 3 см) / 2 = 3 * 18 см² / 2 = 27 см².

Ответ: а) Длина бокового ребра пирамиды "a" равна 6 см. б) Площадь боковой поверхности пирамиды равна 27 см².