Question

365(т). В вершинах треугольника расположены центры трёх попарно касающихся окружностей. Найдите радиу- сы этих окружностей, если стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Сколько решений имеет задача?

Answer 1

Ответ:

Вот одно из возможных решений.

Answer 2

Для решения данной задачи о найденнии радиусов окружностей, описанных вокруг вершин треугольника, мы можем воспользоваться формулой радиуса описанной окружности в треугольнике:

$R = \frac{abc}{4S},$

где $R$ - радиус описанной окружности, $a, b, c$ - стороны треугольника, $S$ - площадь треугольника.

Сначала, найдем площадь треугольника при помощи полупериметра $p$:

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9$

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 18.$

Теперь, можем вычислить радиус описанной окружности для каждой из вершин:

1. Для стороны 5: $R_1 = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{4 \cdot 18} = \frac{35}{12}$.

2. Для стороны 6: $R_2 = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{4 \cdot 18} = \frac{35}{12}$.

3. Для стороны 7: $R_3 = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{4 \cdot 18} = \frac{35}{12}$.

Таким образом, радиусы окружностей, описанных вокруг вершин треугольника, равны $\frac{35}{12}$.

Что касается количества решений задачи, в данном случае существует только одно решение, так как треугольник с заданными сторонами 5, 6 и 7 является невырожденным (имеет конечные размеры) и соответствует условиям построения.