Question

20 баллов ребят помогите пожалуйста:Докажите что 57³-31³делится на 13

Answer 1

Ответ:

$57^3-31^3=(57-31)(57^2+57*31+31^2)=26*(57^2+57*31+31^2)$

Объяснение:

26 делится на 13⇒все выражение делится на 13

Answer 2

Давайте воспользуемся свойствами арифметики и конгруэнций для доказательства этого утверждения.

Нам нужно показать, что разность 57³ - 31³ делится на 13, то есть что (57³ - 31³) mod 13 = 0.

Мы можем воспользоваться формулой для разности кубов:

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).

В данном случае a = 57, b = 31.

Теперь подставим значения:

57³ - 31³ = (57 - 31)(57² + 57 * 31 + 31²).

57 - 31 = 26.

Теперь у нас осталось показать, что выражение (57² + 57 * 31 + 31²) делится на 13:

57² + 57 * 31 + 31² = 57² + 57 * 31 + 31 * 31 = 57² + 31 * (57 + 31).

Мы видим, что 57² - квадрат числа, а 31 * (57 + 31) - произведение числа 31 на сумму 57 и 31.

Так как 57 и 31 - целые числа, то их сумма 57 + 31 также будет целым числом. Таким образом, 31 * (57 + 31) будет кратно 13, потому что 31 делится на 13, и произведение на целое число также будет делиться на 13.

И наконец, квадрат любого целого числа делится на 13 (то есть (57² mod 13 = 0)).

Следовательно, оба слагаемых, 57² и 31 * (57 + 31), в сумме делятся на 13, что значит, что их сумма также делится на 13.

Таким образом, мы показали, что 57³ - 31³ делится на 13, что эквивалентно тому, что (57³ - 31³) mod 13 = 0.