Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ!!!! На сторонах АВ и ВС треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно такие, что угол ACB=2угол BED. Доказать, что AC + EC >AD.

Answer 1

Решение : //////////////////////////////////////

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию и постараемся доказать неравенство AC + EC > AD.

Пусть угол ACB равен 2 углу BED, как указано в условии.

1. Рассмотрим треугольник ABE:

Угол AEB = 180° - угол BAE - угол ABE (сумма углов треугольника равна 180°). Угол AEB = 180° - угол ABE - угол BED (по условию).

Таким образом, угол BAE = угол BED.

2. Теперь обратим внимание на треугольник ACD:

Угол ADC = 180° - угол DAC - угол ACD (сумма углов треугольника равна 180°). Угол ADC = 180° - угол ACD - угол ACB (по условию).

Таким образом, угол DAC = угол ACD.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что угол BAE = угол DAC.

4. Теперь рассмотрим треугольник ACE:

Угол ACE = угол DAC + угол ACD (по свойству суммы углов треугольника). Угол ACE = угол BAE + угол ACD (по пункту 3).

Таким образом, угол ACE = угол BAE + угол BED.

5. В треугольнике ABC:

Угол ACE < угол BAE + угол BED + угол BED (так как угол BAE + угол BED = угол ACE). Угол ACE < угол BAE + 2 угла BED.

С учетом того, что угол ACB = 2 угла BED:

Угол ACE < угол BAE + угол ACB.

6. Теперь давайте рассмотрим треугольник ADE:

Угол ADE < угол BAE + угол ACB (по неравенству из пункта 5).

7. Применим неравенство треугольника к треугольнику ADE:

AD + DE > AE.

8. Теперь заметим, что AE = AC + EC (по построению):

AD + DE > AC + EC.

9. Поскольку DE > 0 (так как точка D лежит на стороне AB), мы можем убрать DE с обеих сторон неравенства:

AD > AC + EC.

Таким образом, неравенство AC + EC > AD доказано.

Извините за отсутствие рисунков, но я надеюсь, что объяснение было понятным.