Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ!!! В треугольнике ABC угол С = 120°, СК— биссектриса. Доказать, что 1/CK=1/AC+1/BC.(P.S. /-знак деления через дробь)

Answer 1

Чтобы доказать равенство 1/CK = 1/AC + 1/BC, воспользуемся теоремой о биссектрисе.

В треугольнике ABC, угол С = 120° и СК является биссектрисой угла C. Пусть AC = a, BC = b и CK = c.

Согласно теореме о биссектрисе, мы знаем, что отношение длин отрезков, на которые биссектриса делит противоположные стороны треугольника, равно отношению длин остальных двух сторон. Это означает, что:

AC / CK = AB / BK

Мы также можем выразить BK в терминах отрезков BC и CK, используя теорему о разделении стороны в пропорции:

BK / CK = BC / CK

Теперь мы можем объединить эти два уравнения:

AC / CK = AB / BK = AB / (BC / CK)

Мы можем переписать второе равенство как:

BC / CK = AB / (AC / CK)

Теперь мы можем выразить BC / CK через отношение длин BC и CK:

BC / CK = BC / c

Таким образом, уравнение становится:

AC / CK = AB / (BC / CK) = AB / (BC / c) = AB * (c / BC)

Теперь, зная выражения для AC / CK и AB * (c / BC), мы можем преобразовать уравнение:

1 / CK = (AB * c) / (AC * BC)

Так как мы хотим доказать равенство 1/CK = 1/AC + 1/BC, то нам нужно показать, что:

1 / CK = 1 / AC + 1 / BC

Используя найденное выражение для 1/CK, мы можем заменить его в равенстве:

(AB * c) / (AC * BC) = 1 / AC + 1 / BC

Для удобства умножим обе части уравнения на AC * BC:

AB * c = BC + AC

Теперь заменим AB на AC + BC (сумма длин двух сторон треугольника):

(AC + BC) * c = BC + AC

Раскроем скобки:

AC * c + BC * c = BC + AC

Теперь вычтем AC и BC из обеих частей уравнения:

AC * c - AC = BC - BC * c

Факторизуем AC и BC:

AC * (c - 1) = BC * (1 - c)

Мы видим, что (c - 1) и (1 - c) являются противоположными выражениями. Таким образом, можно записать:

AC * (c - 1) = -BC * (c - 1)

Теперь мы можем разделить обе части уравнения на (c - 1):

AC = -BC

Таким образом, мы получаем равенство AC = -BC, которое неверно для обычного треугольника.

Из этого следует, что исходное утверждение 1/CK = 1/AC + 1/BC неверно для данного треугольника ABC с углом C = 120° и биссектрисой СК.