Question

Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Answer 1

Объяснение:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90° поэтому величина второго острого угла=90-60=30°

Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Обозначим длину гипотенузы х, тогда длина короткого катета 0,5х см. Составим уравнение: х+0,5х=18;  1,5х=18;  х=12;

длина короткого катета=12:2=6 см.

Answer 2

Обозначим меньший катет как $a$, гипотенузу как $c$, и другой острый угол треугольника как $\alpha$.

Известно, что у нас есть прямоугольный треугольник с одним углом $60^\circ$, что означает, что другой острый угол равен $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Из суммы гипотенузы и меньшего катета, мы можем написать уравнение: $c + a = 18.$

Также, используя тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике, мы знаем, что: $\tan(30^\circ) = \frac{a}{c}.$

Значение тангенса $30^\circ$ равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Подставляя это в уравнение тангенса и учитывая уравнение для суммы гипотенузы и меньшего катета, мы получаем систему уравнений:

c + a &= 18, \\ \frac{a}{c} &= \frac{1}{\sqrt{3}}. \end{align*}\] Решая эту систему уравнений, можно найти \(a\) и \(c\). Начнем с уравнения \(\frac{a}{c} = \frac{1}{\sqrt{3}}\): \[a = \frac{c}{\sqrt{3}}.\] Подставляя это значение \(a\) в уравнение \(c + a = 18\), получаем: \[c + \frac{c}{\sqrt{3}} = 18.\] Умножим обе стороны на \(\sqrt{3}\): \[c\sqrt{3} + c = 18\sqrt{3}.\] Факторизуем \(c\) на левой стороне: \[c(\sqrt{3} + 1) = 18\sqrt{3}.\] Теперь выразим \(c\): \[c = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}.\] Чтобы упростить дробь, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3} - 1\): \[c = \frac{18\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}.\] Это даст: \[c = \frac{18 \cdot 3 - 18\sqrt{3}}{2} = 27 - 9\sqrt{3}.\] Теперь мы знаем длину гипотенузы \(c\). Для нахождения \(a\) мы можем подставить значение \(c\) в первое уравнение: \[a = 18 - c = 18 - (27 - 9\sqrt{3}) = 9\sqrt{3} - 9.\] Итак, длина гипотенузы \(c\) равна \(27 - 9\sqrt{3}\), а длина меньшего катета \(a\) равна \(9\sqrt{3} - 9\).