Question

1. Шар описан около усеченной правильной треугольной пирамидой, радиус которой составляет 30 м. Рассчитайте высоту усеченной пирамиды, если длины ее основания составляют 24√3 м и 18√3 м.

Answer 1

Для решения этой задачи нам нужно использовать подобие геометрических фигур.

Обозначим через A и B вершины усеченной пирамиды, а через C и D основания ее верхней и нижней частей соответственно.

Дано: Радиус сферы, описанной вокруг усеченной пирамиды (R) = 30 м. Длина основания верхней части пирамиды (CD) = 18√3 м. Длина основания нижней части пирамиды (AB) = 24√3 м.

Мы знаем, что высота пирамиды (h) является высотой маленькой пирамиды, подобной данной усеченной пирамиде, расположенной внутри сферы. Высоту этой маленькой пирамиды обозначим через h'.

Исходя из подобия треугольников, мы можем записать следующее соотношение: $\frac{h'}{h} = \frac{R}{CD}$.

Подставляя известные значения, получаем: $\frac{h'}{h} = \frac{30}{18\sqrt{3}}$.

Теперь найдем h': $h' = \frac{h \cdot 30}{18\sqrt{3}}$.

Нам также известно, что h' является высотой маленькой пирамиды, подобной верхней части усеченной пирамиды, с вершиной в точке C и основанием AD.

Теперь мы можем записать аналогичное соотношение для маленькой пирамиды: $\frac{h'}{h} = \frac{CD}{AD}$.

Подставляем известные значения: $\frac{h \cdot 30}{18\sqrt{3} \cdot h} = \frac{18\sqrt{3}}{AD}$.

Теперь найдем AD: $AD = \frac{18\sqrt{3} \cdot 18\sqrt{3}}{30} = \frac{972}{30} = 32.4\ м$.

Таким образом, высота усеченной пирамиды h равна высоте маленькой пирамиды h', которая равна $h' = \frac{h \cdot 30}{18\sqrt{3}}$, где $AD = 32.4\ м$.