Question

Кут між векторами a і b дорівнює 40. Знайдіть кут між векторами 2а і b, -2а і -3b

Answer 1

Ответ:

40°

Объяснение:

a^b=40°

2a↑↑a⇒2a^b=a^b=40°

-3a↑↓a; -2b↑↓b⇒-3a^(-2b)=a^b=40°

Answer 2

Кут між двома векторами можна знайти за допомогою скалярного добутку векторів і їхньої довжини за наступною формулою:

$\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{\|a\| \|b\|},$

де $\theta$ - кут між векторами $a$ і $b$, $a \cdot b$ - скалярний добуток векторів $a$ і $b$, $\|a\|$ і $\|b\|$ - довжини векторів $a$ і $b$.

Для векторів $2a$ і $b$:

$\cos(\theta_{2a,b}) = \frac{(2a) \cdot b}{\|2a\| \|b\|} = \frac{2(a \cdot b)}{2\|a\| \|b\|} = \frac{a \cdot b}{\|a\| \|b\|},$

оскільки скалярний добуток векторів $a$ і $b$ залишається незмінним, а довжина вектора $2a$ дорівнює подвоєному $\|a\|$.

Отже, кут між векторами $2a$ і $b$ такий самий, як і між векторами $a$ і $b$, тобто $\theta_{2a,b} = 40^\circ$.

Для векторів $-2a$ і $-3b$:

$\cos(\theta_{-2a,-3b}) = \frac{(-2a) \cdot (-3b)}{\|-2a\| \| -3b\|} = \frac{6(a \cdot b)}{6\|a\| \|b\|} = \frac{a \cdot b}{\|a\| \|b\|},$

оскільки скалярний добуток векторів $a$ і $b$ теж залишається незмінним, а довжина вектора $-2a$ дорівнює подвоєному $\|a\|$, а довжина вектора $-3b$ дорівнює потрійному $\|b\|$.

Отже, кут між векторами $-2a$ і $-3b$ такий самий, як і між векторами $a$ і $b$, тобто $\theta_{-2a,-3b} = 40^\circ$.