Question

В треугольнике MNK гипотенуза MN равна 36 см, а внешний угол при вершине N равен 120⁰. Найдите длину катета KN. 30 баллов

Answer 1

1. Т.к. в условии есть речь о гипотенузе и катете, то △MKN — прямоугольный. Обозначим за прямой угол MKN (или же просто K). Он равен 90°.

Обозначим внешний угол к вершине N — «KNO»  и найдем угол MKN, смежный с ним. Для этого применим теорему: «сумма смежных углов равна 180 градусов»  

∠MKN = 180°−120° = 60°

2. Теперь мы можем найти ∠KMN, т.к. нам известны два угла в треугольнике MKN, и то, что общая сумма всех трёх углов равна 180 градусов.

∠KMN = 180°−(90°+60°) = 30°.

(Можно также найти ∠KMN просто отняв от 90-ста градусов 60 градусов, применяя первое свойство прямоугольных треугольников:  «сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°» )

3. Теперь, зная чему равны все углы треугольника и гипотенуза MN, мы можем найти катет KN, применяя 2-е свойство прямоугольных треугольников: «катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы»  

То есть KN = ¹/₂MN.

KN = 36 ÷ 2 = 18.

Ответ: KN = 18 см.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Обозначим катет KN как "x" (длина, которую мы хотим найти).

Известно, что внешний угол при вершине N равен 120 градусов. Внешний угол при вершине треугольника равен сумме двух внутренних углов, не инцидентных данной стороне (угол M и угол K):

Внешний угол N = Угол M + Угол K

120° = Угол M + Угол K

Угол M и угол K - это углы прямоугольного треугольника MNK. Так как угол N внешний угол, он больше 90 градусов, поэтому угол M и угол K в сумме равны 90 градусов:

Угол M + Угол K = 90°

Из этого следует, что:

Угол M = 90° - Угол K

Угол K = 90° - Угол M

Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике MNK. Для прямоугольного треугольника:

cos(Угол) = Катет прилежащий к углу / Гипотенуза

Для угла K:

cos(Угол K) = KN / MN

Так как гипотенуза MN равна 36 см и угол K = 90° - Угол M, подставляем:

cos(90° - Угол M) = x / 36

cos(Угол M) = sin(Угол M)

Теперь мы можем использовать таблицы тригонометрических значений или калькулятор, чтобы найти значение sin(Угол M) и, следовательно, значение cos(Угол M):

sin(Угол M) = sin(Угол K) = sin(120°) = √3 / 2

cos(Угол M) = √1 - sin^2(Угол M) = √1 - (√3 / 2)^2 = √1 - 3 / 4 = √1/4 = 1/2

Теперь мы можем найти значение катета KN:

1/2 = x / 36

x = 36 * 1/2

x = 18

Итак, длина катета KN равна 18 см.