Question

4. Из точки М, лежащей вне окружности, проведены две секущие, одна из которых проходит через центр окружности О, а другая пересекает окружность в точках А и В. Найдите радиус окружности, если ОМ = 58, МА = 26, АВ = 13. Возможен ли второй случай? С объяснением

Answer 1

Из точки М, лежащей вне окружности, проведены две секущие, одна из которых проходит через центр окружности О, а другая пересекает окружность в точках А и В. Найдите радиус окружности, если ОМ = 58, МА = 26, АВ = 13. Возможен ли второй случай?

Answer 2

Давайте обозначим радиус окружности как "r". Мы имеем следующую ситуацию:

1. ОМ = 58 (расстояние от точки М до центра О).
2. МА = 26 (расстояние от центра О до точки А).
3. АВ = 13 (расстояние между точками А и В).

Посмотрим на первую секущую, проходящую через центр О:

В этом случае, радиус окружности, отрезок ОМ и отрезок МА являются прямыми линиями, образующими равнобедренный треугольник OМА. Поэтому МО = МА = 26.

Теперь рассмотрим вторую секущую:

Мы видим, что отрезок АВ разбивает окружность на две дуги: дугу АМ и дугу МВ. Так как дуга АМ вдвое больше дуги МВ (по теореме об угле, опирающемся на дугу), то угол МАВ в два раза больше угла МВА.

Обратите внимание, что угол МВА также является углом, опирающимся на хорду АВ. Так как угол МВА в два раза меньше угла МАВ (так как они дополняют друг друга до 180 градусов), а хорда АВ равна 13, то мы можем применить теорему о центральном угле, которая гласит, что угол, опирающийся на данную хорду, равен на половину угла, стираемого этой хордой.

Таким образом, угол МВА равен углу МАВ / 2. Также мы знаем, что угол МАВ в два раза больше угла МВА. Поэтому угол МАВ = 3 * угол МВА.

Теперь мы можем выразить угол МВА через радиус r и длины отрезков ОМ, МА и АВ:

sin(МВА) = АВ / (2 * МА) = 13 / (2 * 26) = 0.25

Так как угол МАВ = 3 * угол МВА, мы можем записать:

sin(3 * МВА) = 0.25

Поскольку sin(3 * МВА) = 3 * sin(МВА) - 4 * sin^3(МВА), мы можем решить это уравнение для sin(МВА):

3 * sin(МВА) - 4 * sin^3(МВА) = 0.25

Подставив значение sin(МВА) = 0.25, мы получим:

3 * 0.25 - 4 * (0.25)^3 = 0.25

Итак, мы видим, что угол МВА = arcsin(0.25) ≈ 14.48 градусов.

Теперь мы можем использовать теорему синусов в треугольнике МАВ:

(АВ / sin(МВА)) = (МА / sin(АМВ))

Подставляем известные значения:

(13 / sin(14.48)) = (26 / sin(180 - 14.48 - 90))

Так как sin(180 - x - 90) = cos(x), мы можем записать:

(13 / sin(14.48)) = (26 / cos(14.48))

Решаем это уравнение относительно радиуса r:

r = (13 * cos(14.48)) / sin(14.48) ≈ 59.01

Итак, радиус окружности примерно равен 59.01.

Теперь рассмотрим второй случай:

Второй случай не возможен. Почему? Потому что в равнобедренном треугольнике ОМА (с углом ОМА равным 90 градусов), отрезок ОМ равен МА, что означает, что радиус окружности также равен 26. Но по условию ОМ = 58, что невозможно. Таким образом, второй случай не соответствует данным в условии задачи.

Итак, радиус окружности составляет приблизительно 59.01.