Question

Один из углов прямоугольного треугольника равен 60' ( ( ' ) - градусы ) а сумма гипотенузы и младшего катета = 42см. Найдите гипотенузу. ​

Answer 1

Ответ:

<B=90-60=30°

По свойству катета против угла 30°,АС=0.5ВС

ВС+0.5ВС=42

1.5ВС=42

ВС=28

Answer 2

Давайте обозначим младший катет как $a$, гипотенузу как $c$, а угол, противолежащий младшему катету $A$. Мы знаем, что $A = 60^\circ$ и $a + c = 42$ см.

Так как у нас есть прямоугольный треугольник, мы можем использовать тригонометрические отношения для нахождения длин сторон.

Соотношение, связывающее угол и отношение сторон в прямоугольном треугольнике, называется тангенсом:

$$\tan(A) = \frac{a}{c}.$$

Так как $A = 60^\circ$, то $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Подставляем это в уравнение:

$$\sqrt{3} = \frac{a}{c}.$$

Теперь мы можем выразить $a$ через $c$:

$$a = c \cdot \sqrt{3}.$$

Теперь мы можем подставить это выражение для $a$ в уравнение $a + c = 42$:

$$c \cdot \sqrt{3} + c = 42.$$

Факторизуем $c$ из обоих частей уравнения:

$$c \cdot (\sqrt{3} + 1) = 42.$$

Теперь делим обе стороны на $\sqrt{3} + 1$, чтобы найти $c$:

$$c = \frac{42}{\sqrt{3} + 1}.$$

Чтобы избавиться от радикала в знаменателе, мы умножим и разделим на его сопряженное значение $\sqrt{3} - 1$:

$$c = \frac{42}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{42 (\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = 21 (\sqrt{3} - 1).$$

Таким образом, гипотенуза $c$ равна $21 (\sqrt{3} - 1)$ см.