Question

Упростите выражение (Sin Альфа+Cos Альфа)^2+(Sin альфа-cosальфа)^2

Answer 1

Упростить выражение: (sinα+cosα)^2+(sinα-cosα)^2

Решение:

$\left(\sin (\alpha)+\cos (\alpha)\right) ^2+\left(\sin t(\alpha)-\cos (\alpha)\right) ^2=\\=\sin^2(\alpha)+2\sin (\alpha)\cos (\alpha)+\cos^2(\alpha)+\sin ^2(\alpha)-2\sin (\alpha)\cos (\alpha)+\cos ^2(\alpha)=\\=\sin^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=\\=2\sin^2(\alpha)+2\cos^2(\alpha)=\\=2\left(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)\right)=\\\boxed{\big\: \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) = 1 \:}\\=2\cdot1 = 2$

Ответ: 2.

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой раскрытия скобок для квадрата суммы и разности двух чисел:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Применяя эти формулы к выражению (sin α + cos α)^2 + (sin α - cos α)^2, получаем:

(sin α + cos α)^2 + (sin α - cos α)^2 = sin^2 α + 2sin α cos α + cos^2 α + sin^2 α - 2sin α cos α + cos^2 α = 2sin^2 α + 2cos^2 α = 2(sin^2 α + cos^2 α)

Используя тригонометрическое тождество sin^2 α + cos^2 α = 1, получаем:

2(sin^2 α + cos^2 α) = 2(1) = 2

Таким образом, упрощенное выражение равно 2.