Question

Решите подробно 1. Прямая MN касается окружности с центром в точке О, М- точка касания , угол МNO=30°, а радиус окружности равен 5 см. Найдите NO. 2. В треугольнике MNK, MK=6см, MK=8см, NK=10см. Докажите, что МК- отрезок касательной, проведённый из точки К к окружности с центром в точке N и радиусом, равным 6см.

Answer 1

1) Рассмотрим треугольник OMN. Он прямоугольный и угол MNO=30*. Значит катет, лежащий против этого угла будет равен половине гипотенузы. => Гипотенуза равна двум сторонам OM.

ON=2OM=5*2=10 см

Ответ: 10 см

2) Треугольник MNK прямоугольный, т.к 10^2=8^2+6^2

угол NMK 90 градусов. радиус равен 6 и МN=6 значит MN и есть. радиус, касательная перпендикулярна радиусу, но MK перпендикулярна MN А значит MK и есть касательная

Answer 2

1. Пусть O - центр окружности, а P - точка пересечения прямой MK и окружности.

Сначала рассмотрим треугольник MNO. Угол МNO равен 30°, и так как NO - радиус окружности, угол МON также равен 30° (так как угол вписанный в окружность равен половине центрального угла, охватывающего ту же дугу). Таким образом, угол ONM = 180° - 30° - 30° = 120°.

В треугольнике MNO, у нас есть два известных угла (30° и 120°) и гипотенуза ON (радиус окружности, 5 см). Мы можем использовать закон синусов для нахождения стороны NO:

$\frac{NO}{\sin 30°} = \frac{ON}{\sin 120°}$

$\frac{NO}{\frac{1}{2}} = \frac{5}{\sqrt{3}/2}$

$NO = 5 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$

2. Для доказательства, что MK - отрезок касательной, проведенной из точки К к окружности с центром в точке N и радиусом 6 см, нам нужно показать, что угол МKN равен 90°.

Пусть Q - точка касания прямой MK и окружности с центром N, а L - точка пересечения прямой NK и окружности. Так как NQ и NL являются радиусами окружности, они равны радиусу, который равен 6 см.

Также дано, что MK = 8 см и NK = 10 см.

Известно, что в прямоугольном треугольнике NQL противолежащая гипотенузе NL больше, чем сумма противолежащих гипотенузе NQ и QL. То есть,

$NL > NQ + QL$ $6 > 6 + QL$ $0 > QL$

Это означает, что точка L находится внутри окружности, а значит, угол NKL является остроугольным.

Теперь рассмотрим треугольник MKL. У нас есть два известных катета (MK = 8 см и KL = 6 см) и один угол NKL, который равен острому углу (поскольку мы доказали, что угол NKL остроугольный).

По теореме Пифагора для треугольника MKL:

$MK^2 + KL^2 = ML^2$ $8^2 + 6^2 = ML^2$ $100 = ML^2$ $ML = 10$

Таким образом, мы показали, что длина отрезка ML равна 10 см, что также является радиусом окружности с центром N. Это подтверждает, что MK является касательной к окружности с центром N и радиусом 6 см.