Question

в правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. найдите скалярное произведение векторов: а) АВ и SC; б) SB и SD

Answer 1

///////////////////////////////////////

Answer 2

Скалярное произведение двух векторов можно найти, используя формулу:

$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot \cos(\theta)$,

где $\vec{A}$ и $\vec{B}$ - векторы, $|\vec{A}|$ и $|\vec{B}|$ - их длины, а $\theta$ - угол между ними.

a) Для нахождения скалярного произведения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{SC}$, нужно найти длины этих векторов и угол между ними. Поскольку все рёбра равны 1, $|\vec{AB}| = |\vec{SC}| = 1$.

Чтобы найти угол $\theta$, рассмотрим треугольник $ASC$. Этот треугольник прямоугольный, так как основание треугольника - это ребро $AC$, которое является высотой пирамиды, а $AS$ и $SC$ - это боковые рёбра пирамиды. Таким образом, $\cos(\theta) = \frac{AS}{AC}$. В данном случае, $AS = SC = 1$, а $AC = \sqrt{2}$ по теореме Пифагора (расстояние от вершины пирамиды до середины основания).

Итак, подставляем значения в формулу:

$\vec{AB} \cdot \vec{SC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{SC}| \cdot \cos(\theta) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

b) Для нахождения скалярного произведения векторов $\vec{SB}$ и $\vec{SD}$, используем ту же формулу.

Длины векторов $|\vec{SB}|$ и $|\vec{SD}|$ также равны 1.

Чтобы найти угол $\theta$, рассмотрим треугольник $SBD$. Этот треугольник также прямоугольный, так как его гипотенуза - это ребро $SB$, а катеты - это рёбра $BD$ и $SD$. Таким образом, $\cos(\theta) = \frac{BD}{SB}$.

Заметим, что треугольник $SBD$ является прямоугольным равнобедренным треугольником, так как $BD = SD = 1$ (рёбра пирамиды равны) и $SB = \sqrt{2}$ (расстояние от вершины пирамиды до середины бокового ребра).

Итак, подставляем значения в формулу:

$\vec{SB} \cdot \vec{SD} = |\vec{SB}| \cdot |\vec{SD}| \cdot \cos(\theta) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$