Question

периметр равностороннего треугольника равен 12 см. Найдите радиус окружности вписанной в этот треугольник и радиус окружности, описанной около этого треугольника

Answer 1

Ответ:

$R=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ см

$r=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ см

Объяснение:

P = 12 см

Сторона треугольника:

a = P / 3 = 12 / 3 = 4 см

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности:

$R=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$  см

Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности:

$r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}=\dfrac{4\sqrt{3}}{6}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$  см

Answer 2

Давайте обозначим радиус вписанной окружности как $r$, а радиус описанной окружности как $R$.

Для равностороннего треугольника известно, что:

• Длина каждой стороны равна.
• Угол между любыми двумя сторонами равен $60^\circ$.

Периметр равностороннего треугольника выражается как $P = 3 \times \text{длина стороны}$. По условию задачи $P = 12 \, \text{см}$, следовательно, длина каждой стороны равностороннего треугольника равна $4 \, \text{см}$.

Радиус вписанной окружности можно найти с помощью формулы: $r = \frac{\text{Площадь треугольника}}{\text{Полупериметр треугольника}}.$

Площадь равностороннего треугольника можно найти с помощью формулы Герона: $S = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)},$ где $s$ - полупериметр треугольника, $a$, $b$, $c$ - длины сторон треугольника.

В данном случае $a = b = c = 4 \, \text{см}$, а значит, $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 4 + 4}{2} = 6 \, \text{см}$.

Подставляя значения в формулу Герона, получаем: $S = \sqrt{6 \, \text{см} \cdot (6 \, \text{см} - 4 \, \text{см}) \cdot (6 \, \text{см} - 4 \, \text{см}) \cdot (6 \, \text{см} - 4 \, \text{см})} = \sqrt{36 \, \text{см}^2} = 6 \, \text{см}^2.$

Теперь можем найти радиус вписанной окружности: $r = \frac{6 \, \text{см}^2}{6 \, \text{см}} = 1 \, \text{см}.$

Радиус описанной окружности равен половине длины стороны треугольника: $R = \frac{a}{2} = \frac{4 \, \text{см}}{2} = 2 \, \text{см}.$

Итак, радиус вписанной окружности $r$ равен $1 \, \text{см}$, а радиус описанной окружности $R$ равен $2 \, \text{см}$.