Question

Какая формула площади треугольника называется формулой Герона?

Answer 1

Формула Герона выражает площадь треугольника через длины трех его сторон.
Теорема (формула Герона) . Площадь треугольника со сторонами a, b, c и полупериметром p равна выражению:
s= корень p(p-a)(p-b)(p-c)
Доказательство. Пусть O - центр вписанной в треугольник ABC окружности, r - ее радиус

Соединив центр O с вершинами A, B и C, получим треугольники AOC, BOC и AOB с высотами, равными r.
Согласно свойству площадей:
пл. треугольника ABC=пл. треугольника AOC+пл. треугольника AOB+пл. треугольника BOC=
= 1/2 b . r+1/2 c . r+1/2 a . r=r/2 (a+b+c)=p . r.
Выражая r через стороны треугольника a, b и с,
что и требовалось доказать.