Question

Відомі вершини трикутника А(2; 3), B(1; -4), C(-2; 1).. Знайти: - рівняння медіани СК, - рівняння висоти АЕ.

Answer 1

Даны вершины треугольника А(2; 3), B(1; -4), C(-2; 1).

Находим координаты точки К - середины стороны АВ:

К = ((2+1)/2=1,5; (3-4)/2=-0,5) = (1,5; -0,5).

Теперь находим вектор СК:

СК = ((1,5-(-2)=3,5; (-0,5-1=-1,5) = (3,5; -1,5) = ((7/2); (-3/2)).

Уравнение медианы СК:

(х + 2)/(7/2) = (у - 1)/(-3/2)   или, сократив на 2:

(х + 2)/7 = (у - 1)/(-3).

Находим вектор ВС = (-2-1=-3; 1-(-4)=5) = (-3; 5).

Уравнение стороны ВС: (х - 1(/(-3) = (у + 4)/5.

5х - 5 = -3у - 12,  отсюда у(ВС) = (-5/3)х - (7/3).

к(АЕ) = -1/(к(ВС) = -1/(-5/3) = 3/5.

Уравнение АЕ: у = (3/5)х + в. Подставим координаты точки А:  3 = (3/5)*2 + в, находим в = 3 - (6/5) = 9/5.

Уравнение высоты АЕ: у = (3/5)х + (9/5).

Answer 2

Щоб знайти рівняння медіани СК, треба знайти середину відрізка СК і підставити її координати в рівняння прямої. Рівняння прямої виражається у вигляді y = mx + c, де m - нахил прямої, а c - зсув (абсциса перетину з віссю ординат).

1. Знайдемо координати середини відрізка СК. Координата x середини відрізка СК: (x_C + x_K) / 2 = (-2 + 2) / 2 = 0 / 2 = 0. Координата y середини відрізка СК: (y_C + y_K) / 2 = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2.

   Отже, координати середини відрізка СК: M(0; 2).

2. Знайдемо нахил медіани СК. Нехай точка M(0; 2) лежить на медіані СК. Тоді вектор СМ буде напрямлений вздовж медіани. Вектор СМ: M - C = (0 - (-2); 2 - 1) = (2; 1).

   Нахил медіани СК: m = (y_M - y_C) / (x_M - x_C) = (2 - 1) / (0 - (-2)) = 1 / 2.

3. Знайдемо зсув медіани СК. Використаємо координати точки M(0; 2) та нахил m = 1 / 2 для підстановки в рівняння прямої. Замінимо значення x, y та m в загальному виразі прямої y = mx + c:

   2 = (1/2)(0) + c. 2 = 0 + c. c = 2.

   Отже, рівняння медіани СК: y = (1/2)x + 2.

Тепер знайдемо рівняння висоти АЕ. Висота АЕ є перпендикуляром до відрізка ВС, що проходить через точку А. Тобто, нахил висоти АЕ буде обернено протилежним до нахилу відрізка ВС.

1. Знайдемо нахил відрізка ВС. Нахил відрізка ВС: m_ВС = (y_C - y_B) / (x_C - x_B) = (1 - (-4)) / (-2 - 1) = 5 / (-3) = -5/3.

2. Знайдемо нахил висоти АЕ. Нахил висоти АЕ буде обернено протилежним до нахилу відрізка ВС: m_АЕ = -1 / m_ВС = -1 / (-5/3) = 3/5.

3. Знайдемо зсув висоти АЕ. Використаємо координати точки A(2; 3) та нахил m_АЕ = 3/5 для підстановки в рівняння прямої. Замінимо значення x, y та m в загальному виразі прямої y = mx + c:

   3 = (3/5)(2) + c. 3 = 6/5 + c. c = 3 - 6/5 = 15/5 - 6/5 = 9/5.

   Отже, рівняння висоти АЕ: y = (3/5)x + 9/5.