Question

Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна k, величина угла между диагоналями основания равна α, диагональ меньшей боковой грани составляет с плоскостью основания угол β. Найдите объем и площадь боковой поверхности параллелепипеда.Пожалуйста подробное решение

Answer 1

Ответ: там в тексте

Объяснение: Возможно тригонометрическую часть ответов можно изменить еще, но я сейчас не вижу как.

Answer 2

Для решения этой задачи давайте воспользуемся геометрическими свойствами параллелепипеда и тригонометрии.

Обозначим параллелепипед следующим образом:

• Длина основания (параллельной диагонали) - $a$.
• Ширина основания - $b$.
• Высота параллелепипеда - $h$.

Так как параллелепипед прямоугольный, у нас есть следующие соотношения:

1. $a^2 + b^2 = k^2$ (по теореме Пифагора для диагонали основания).
2. Диагонали боковых граней меньше диагоналей основания в $\sqrt{h^2 + b^2}$ раз (по пропорциональности треугольников).

Теперь мы можем рассмотреть боковую грань параллелепипеда. Возьмем диагональ боковой грани как гипотенузу треугольника. Тогда в этом треугольнике у нас есть следующие углы:

• Угол между диагональю боковой грани и высотой параллелепипеда $h$ - $\beta$.
• Угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания - $90^\circ - \beta$.

Теперь давайте рассмотрим треугольник, образованный половиной диагонали основания, половиной диагонали боковой грани и её высотой $h$. Этот треугольник можно считать прямоугольным, и мы знаем все его углы:

• Угол между половиной диагонали основания и половиной диагонали боковой грани - $\frac{\alpha}{2}$.
• Угол между половиной диагонали основания и высотой $h$ - $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

С помощью тригонометрии, мы можем записать следующее соотношение: $\tan\left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\frac{\sqrt{h^2 + b^2}}{2}}{\frac{k}{2}}$.

Отсюда можно найти $h^2 + b^2$ и подставить в соотношение $a^2 + b^2 = k^2$ для выражения $a$ через $k$.

Теперь у нас есть $a$, $b$ и $h$, и мы можем найти объем $V$ параллелепипеда: $V = a \cdot b \cdot h.$

Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно найти площадь каждой боковой грани и сложить их. Так как у нас 4 боковые грани с одинаковой площадью, можно найти площадь одной боковой грани и умножить на 4: $S_{\text{бок}} = 4 \cdot \text{площадь одной боковой грани}.$

Площадь одной боковой грани можно найти, рассматривая её как прямоугольный треугольник с катетами $h$ и $\frac{\sqrt{h^2 + b^2}}{2}$: $S_{\text{бок одной}} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot \frac{\sqrt{h^2 + b^2}}{2}.$

Теперь у нас есть все необходимые компоненты для вычисления объема и площади боковой поверхности параллелепипеда. Просто подставьте полученные выражения и значения в указанные формулы и произведите вычисления.