Question

Знайти площу р/б трапеції,діагоналі якої перпендикулярні,а сума основ дорівнює 20

Answer 1

Вот пожалуйста ответ))))

Answer 2

Якщо діагоналі трапеції перпендикулярні, то ми можемо розділити трапецію на два прямокутних трикутники. Сума основ трапеції дорівнює 20, тому можемо позначити довжини основ як "a" і "b", де "a + b = 20".

Одна з діагоналей трапеції буде гіпотенузою одного з прямокутних трикутників, а інша діагональ - гіпотенузою другого.

Нехай "d1" - довжина першої діагоналі і "d2" - довжина другої діагоналі.

За теоремою Піфагора для першого прямокутного трикутника: d1^2 = a^2 + h^2, де "h" - висота трапеції відносно коротшої основи.

Для другого прямокутного трикутника: d2^2 = b^2 + h^2.

Оскільки діагоналі перпендикулярні, ми можемо встановити відношення між "d1" і "d2": d1^2 + d2^2 = h^2 + a^2 + h^2 + b^2, d1^2 + d2^2 = 2h^2 + a^2 + b^2.

Але ми знаємо, що a + b = 20, отже, можемо виразити "b" як 20 - "a" і підставити це у вираз: d1^2 + d2^2 = 2h^2 + a^2 + (20 - a)^2, d1^2 + d2^2 = 2h^2 + a^2 + 400 - 40a + a^2.

Також маємо зв'язок між діагоналями і основами: d1^2 + d2^2 = a^2 + b^2, d1^2 + d2^2 = a^2 + (20 - a)^2, d1^2 + d2^2 = a^2 + 400 - 40a + a^2.

Таким чином, ми маємо два вирази для суми квадратів діагоналей. Рівність цих виразів дасть нам відношення між діагоналями:

2h^2 + a^2 + 400 - 40a + a^2 = 2a^2 + 400 - 40a + 2h^2, 2a^2 + 400 - 40a + 2h^2 = 2a^2 + 400 - 40a + 2h^2, 0 = 0.

Отже, наші припущення про діагоналі були правильними. Тепер ми можемо знайти площу рівнобіжної трапеції, використовуючи формулу:

Площа трапеції = (сума діагоналей / 2) * висота, Площа трапеції = ((d1 + d2) / 2) * h, Площа трапеції = ((d1^2 + d2^2) / 2h) * h, Площа трапеції = (d1^2 + d2^2) / 2.

Ми вже знайшли, що d1^2 + d2^2 = 2a^2 + 400 - 40a + 2h^2. Підставимо це значення у формулу для площі:

Площа трапеції = (2a^2 + 400 - 40a + 2h^2) / 2, Площа трапеції = a^2 + 200 - 20a + h^2.

Зараз нам потрібно виразити "h" через "a" відношенням з прямокутного трикутника:

h^2 = d1^2 - a^2, h^2 = (a^2 + b^2) - a^2, h^2 = b^2.

Тепер підставимо це значення у формулу для площі:

Площа трапеції = a^2 + 200 - 20a + b^2.

Але ми знаємо, що a + b = 20, тому можемо виразити "b" як 20 - "a" і підставити це у вираз:

Площа трапеції = a^2 + 200 - 20a + (20 - a)^2, Площа трапеції = a^2 + 200 - 20a + 400 - 40a + a^2, Площа трапеції = 2a^2 - 60a + 600.

Таким чином, площа рівнобіжної трапеції з перпендикулярними діагоналями і сумою основ 20 дорівнює:

Площа трапеції = 2a^2 - 60a + 600.