Question

В окружности с радиусом 10 см проведена хорда длиной 10 см. Чему равны длины стягиваемых ею дуг? Найти площадь сектора

Answer 1

Ответ:   $l_1=\dfrac{10\pi }{3}\; \; ,\; \; l_2=\dfrac{50\pi }{3}\; ,$   $S=\dfrac{25\cdot (2\pi -3\sqrt3)}{3}\; .$  

Объяснение:

Так как длина хорды АВ = радиусу окружности R=OA=OB, то ΔAOB - равносторонний и все его углы = 60° .

Значит центральный угол АОВ=60°. Тогда длина дуги АВ равна

$l_1=\dfrac{\pi R\cdot \alpha }{180^\circ }=\dfrac{\pi \cdot 10\cdot 60^\circ }{180^\circ }=\dfrac{10\pi }{3}$  

Длина второй дуги АСВ окружности равна

$l_2=\dfrac{\pi \cdot R\cdot (360^\circ -60^\circ )}{180^\circ }=\dfrac{\pi \cdot 10\cdot 300^\circ }{180^\circ }=\dfrac{50\pi }{3}$  

Площадь сегмента, соответствующего углу в 60° равна:

$S=\dfrac{R^2}{2}\Big (\dfrac{\pi \alpha}{180^\circ }-sin\alpha \Big)=\dfrac{100}{2}\Big(\dfrac{\pi \cdot 60^\circ }{180^\circ}-\dfrac{\sqrt3}{2}\Big)=50\cdot \Big(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt3}{2}\Big)=\\\\=\dfrac{25\cdot (2\pi -3\sqrt3)}{3}$

Answer 2

Для начала, давайте разберемся с длиной стягиваемых дуг. Когда проводится хорда внутри окружности, она дробит окружность на две дуги. Давайте обозначим эти дуги как $AB$ и $BC$, где $A$ и $C$ - концы хорды, а $B$ - точка пересечения хорды и окружности.

Так как хорда $AC$ имеет длину 10 см, а радиус окружности равен 10 см, то отрезок $AB = BC = 5$ см. Это означает, что обе дуги $AB$ и $BC$ имеют одинаковую длину.

Теперь перейдем к вычислению площади сектора. Площадь сектора вычисляется по формуле:

$S = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi r^2$

Где $S$ - площадь сектора, $\theta$ - центральный угол в секторе, $r$ - радиус окружности.

Так как у нас дуга $AB$ равна дуге $BC$, центральные углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ также равны между собой. Поскольку сумма центрального угла и его соответствующего угла на окружности равна $180^\circ$, то центральный угол $\angle AOB$ (или $\angle BOC$) равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$.

Подставляем известные значения в формулу для площади сектора:

$S = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (10 \, \text{см})^2 = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 100 \, \text{см}^2 = 25 \, \pi \, \text{см}^2$

Таким образом, площадь сектора равна $25 \, \pi \, \text{см}^2$.