Question

Коло вписане у трикутник АВС дотикається до його сторін у точках А1 В1 С1(А1єВС;В1єАС;С1єАВ) периметр трикутника АВС=64 см ВА1=8 см СА1=11см знайти сторону трикутника АВС

Answer 1

Ответ: 21см; 19см; 24см

Объяснение: рассмотрим ∆АВС. Так как окружность вписана в треугольник, то его стороны являются касательными, и соединяются в одной вершине, поэтому от точки касания до вершины эти отрезки равны. Поэтому С1В=ВА1; А1С=В1С; АВ1=АС1. По условиям С1В=8см, поэтому ВА1=8, А1С=В1С=11см; и пусть АВ1=АС1=х. Зная что Р ∆АВС=64, составим уравнение:

х+8+8+11+11+х=64

2х+38=64

2х=64-38

2х=26

х=26÷2

х=13.

Теперь, зная "х", найдём стороны ∆АВС:

АВ=13+8=21см;

ВС=8+11=19см

АС=11+13=24см

Answer 2

Позначимо сторони трикутника АВС як a, b і c. Також позначимо довжини від точок дотику кола до вершин трикутника: А1B1 = x, В1C1 = y і С1A1 = z.

За властивостями кутів, утворених дотичними до кола і радіусами, ми можемо сказати, що А1В1 || BC, В1С1 || AC і С1А1 || AB.

Також використовуючи властивість кола, можемо сказати, що радіус кола, який дотикається до сторін трикутника, перпендикулярний до відповідних сторін.

Зараз ми можемо сформулювати систему рівнянь:

1. x + z = a (з ознакою ||)
2. x + y = b (з ознакою ||)
3. y + z = c (з ознакою ||)
4. x + y + z = 64 (за властивістю периметра)

Ми також маємо дані про довжини сторін трикутника:

5. a + x = 8
6. b + y = 11

Зараз ми можемо розв'язати цю систему рівнянь для знаходження a, b і c.

Додамо рівняння 5 і 6: (a + x) + (b + y) = 8 + 11 a + b + x + y = 19

Замінимо x + y з рівняння 4: a + b + z = 19

А тепер віднімемо це рівняння від рівняння 4: (x + y + z) - (a + b + z) = 64 - 19 x + y - a - b = 45

Замінимо x + y з рівняння 4: 45 = 45

Це підтверджує наші обчислення. Однак, ми не можемо знайти конкретні значення для a, b і c, оскільки ми маємо більше невідомих (3 невідомих: a, b, c) ніж рівнянь (2 рівняння: 5 і 6). Тому нам потрібно додаткова інформація для знаходження конкретних значень сторін трикутника.