Question

Дано дві точки А(8:0;4),В(13;4;7) і С(11;-3;3) 1) Довести, що трикутник АВС прямокутний 2) знайти площу круга,описаного навколо трикутника АВС

Answer 1

$A(8,0,4)\; ,\; \; B(13,4,7)\; \; ,\; \; C(11,-3,3)\\\\1)\; \; \overline{AB}=(5,4,3)\; \; ,\; \; \overline{AC}=(3,-3,-1)\\\\\overline{AB}\cdot \overline{AC}=5\cdot 3-4\cdot 3-3\cdot 1=15-12-3=0\; \; \to \; \; \overline{AB}\perp \overline{AC}\\\\\angle A=90^\circ \\\\2)\; \; R=\frac{1}{2}\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{(11-13)^2+(-3-4)^2+(3-7)^2}=\\\\=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{4+49+16}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{69}=\frac{\sqrt{69}}{2}\\\\S=\pi R^2=\dfrac{\pi \cdot 69}{4}=17,25\, \pi \approx 54,165$

Answer 2

Найдем координаты векторов АВ и АС, АВ(5;4;3);

ВС(-2;-7;-4);АС(3;-3;-1)

АВ*АС=5*3+4*(-3)+3*(-1)=15-12-3=0, т.к. скалярное произведение векторов равно нулю, то угол между ними А прямой. 1) доказано.

2)Радиус круга равен половине гипотенузы ВС=√(4+49+16)=√69

радиус √69/2 ; площадь круга равна πR²=π*69/4=17.25π

Answer 3

1. Для доведення, що трикутник ABC є прямокутним, ми можемо використати властивість трикутника, згідно якої квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин двох інших сторін у прямокутному трикутнику.

Відстані між точками можна знайти за допомогою формули:

Для точок A(8, 4, 0) і B(13, 4, 7):

AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²) = √((13 - 8)² + (4 - 4)² + (7 - 0)²) = √(25 + 0 + 49) = √74

Для точок A(8, 4, 0) і C(11, -3, 3):

AC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²) = √((11 - 8)² + (-3 - 4)² + (3 - 0)²) = √(9 + 49 + 9) = √67

Для точок B(13, 4, 7) і C(11, -3, 3):

BC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²) = √((11 - 13)² + (-3 - 4)² + (3 - 7)²) = √(4 + 49 + 16) = √69

Тепер перевіримо, чи виконується властивість трикутника. Нехай AB - гіпотенуза. Тоді:

AB² = (√74)² = 74

AC² + BC² = (√67)² + (√69)² = 67 + 69 = 136

Очевидно, AB² ≠ AC² + BC², тому трикутник ABC не є прямокутним за цією властивістю.

2. Щоб знайти площу круга, описаного навколо трикутника ABC, нам потрібно знайти радіус описаного кола (R) і застосувати формулу для площі кола (S = πR²).

Радіус описаного кола можна знайти за відомою формулою, де ABC - площа трикутника, a, b і c - довжини сторін трикутника:

R = (abc) / (4ABC)

Знайдемо довжини сторін трикутника:

a = AB = √74 (як обчислено раніше) b = AC = √67 (як обчислено раніше) c = BC = √69 (як обчислено раніше)

Знайдемо площу трикутника за формулою Герона:

S = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)), де s - півпериметр трикутника.

s = (a + b + c) / 2 = (√74 + √67 + √69) / 2

Підставляючи значення a, b, c і s у формулу для R, отримаємо радіус описаного кола.

Після знаходження радіусу R, можна обчислити площу кола за формулою S = πR².