Question

Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 2 : 7, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 110 см.

Answer 1

Ответ:

20

Объяснение:

Примем коэффициент пропорциональности отрезков, на которые боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности, за х, а основание - за у.

Тогда периметр треугольника равен 2*(2х+7х) + у = 110.

По свойству точки касания 2х = у/2 или у = 4х (так как треугольник равнобедренный).

Подставим эту зависимость в первое уравнение.

2*9х + 4х = 110,

22х = 110,

х = 110/22 = 5.

Отсюда находим стороны треугольника:

- боковые стороны равны 2*5+7*5 = 10 + 35 = 45,

- основание равно 110 - 2*45 = 110 - 90 = 20.

Answer 2

Обозначим боковую сторону треугольника как $a$, основание как $b$, и точку касания вписанной окружности с боковой стороной как $D$. Также, обозначим точку касания с основанием треугольника как $E$.

По условию, $DE$ делит боковую сторону в отношении 2:7. Это означает, что $DE$ можно представить как $\frac{2}{2+7} = \frac{2}{9}$ от боковой стороны $a$, и $AE$ как $\frac{7}{9}$ от $a$.

Так как $AD$ является высотой, опущенной на основание $b$ треугольника $ABC$, она разбивает его на два подобных треугольника: $ADE$ и $ADC$.

В треугольнике $ADE$ у нас есть соотношение подобия между $ADE$ и $ABC$:

$\frac{DE}{AC} = \frac{AE}{AB}$

Подставив известные значения, получим:

$\frac{\frac{2}{9}a}{a+b} = \frac{\frac{7}{9}a}{b}$

Упростим это выражение:

$\frac{2}{9}b = \frac{7}{9}(a+b)$

Умножим обе стороны на 9, чтобы избавиться от знаменателей:

$2b = 7(a+b)$

Раскроем скобку:

$2b = 7a + 7b$

Перенесем все слагаемые с $b$ на одну сторону, а с $a$ на другую:

$7b - 2b = 7a$

$5b = 7a$

Теперь можем выразить $b$ через $a$:

$b = \frac{7}{5}a$

Известно, что периметр треугольника $ABC$ равен 110 см:

$a + b + b = 110$

Подставим выражение для $b$:

$a + \frac{7}{5}a + \frac{7}{5}a = 110$

Упростим:

$\frac{19}{5}a = 110$

Теперь найдем значение $a$:

$a = \frac{110 \cdot 5}{19} \approx 28.95$

Из $b = \frac{7}{5}a$ получаем $b \approx 40.57$.

Таким образом, боковая сторона $a \approx 28.95$ см, основание $b \approx 40.57$ см, и третья сторона равна $b \approx 40.57$ см.