Question

В выпуклом четырехугольнике ABCD проведите диагональ АС перпендикулярна стороне CD, а диагональ ВD перпендикулярна стороне АВ. Докажите, что эта сумма углов А и С этого четырехугольника равна 180​

Answer 1

Отрезок AD виден из точек B и С под одинаковым углом (90), следовательно точки A, B, C, D лежат на одной окружности. ABCD - вписанный четырехугольник. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника 180.

Answer 2

Для доказательства равенства суммы углов А и С в четырехугольнике ABCD рассмотрим следующую цепочку рассуждений:

1. Из условия задачи следует, что диагональ AC перпендикулярна стороне CD. По свойству перпендикулярных прямых, угол ADC является прямым углом (180 градусов).

2. Рассмотрим треугольник ADC. У него один угол равен 180 градусов (угол ADC), а второй угол равен углу A (это угол между диагональю AC и стороной AD). Обозначим этот угол как угол DCA.

3. Сумма углов в треугольнике ADC равна 180 градусов (сумма углов треугольника равна 180 градусов). Поэтому угол DCA + угол ADC + угол A = 180 градусов.

4. Из пункта 3 следует, что угол DCA + 180 градусов + угол A = 180 градусов.

5. Отбросим ненужные слагаемые и получим, что угол DCA + угол A = 0 градусов.

6. Заметим, что угол DCA + угол A это сумма углов А и С в четырехугольнике ABCD.

Таким образом, мы доказали, что сумма углов А и С в четырехугольнике ABCD равна 180 градусов.