Question

Пожалуйста, много баллов!!! Точка O — середина биссектрисы AM треугольника ABC. На стороне AC отмечена точка D такая, что DO ⊥ AM. Докажите, что DM || AB.

Answer 1

AМ – биссектриса угла А

∠ 1 = ∠ 2

OD – высота и медиана треугольника ADM

Значит, Δ ADM – равнобедренный

∠ 2 = ∠ 3

Значит, по свойству транзитивности равенства

∠ 1 = ∠ 3

Это внутренние накрест лежащие углы, они равны, значит прямые АВ и DM – параллельны.

Answer 2

Для доказательства того, что DM || AB, мы можем использовать свойства треугольников и параллельных линий. Давайте рассмотрим шаги доказательства:

1. Рисуем схему: Начнем с построения схемы, чтобы проиллюстрировать данную ситуацию. На чертеже точка O - середина биссектрисы AM, и проведена перпендикулярная линия DO к AM. Точка D находится на стороне AC. Нам нужно доказать, что линия DM параллельна стороне AB.

2. Рассмотрим треугольник ADO: Треугольник ADO имеет прямой угол ODA, так как OD перпендикулярна AM. Также, так как точка O - середина биссектрисы AM, то OA равно OD, и угол ODA равен углу OAD (по определению биссектрисы).

3. Рассмотрим треугольник ABO: Так как OA равно OD и угол ODA равен углу OAD, то треугольники ADO и ABO подобны по стороне-уголу-стороне. Это означает, что угол ABO также равен углу AOD.

4. Рассмотрим треугольник OMC: Так как O - середина биссектрисы AM, то AO равно OM. Также, угол ABO равен углу AOD (по предыдущему пункту). Следовательно, треугольники ABO и OMC подобны по стороне-уголу-стороне. Отсюда следует, что угол OMC равен углу OBA.

5. Вывод: Так как угол OMC равен углу OBA, и угол OBA равен углу ABO, то угол OMC также равен углу ABO. Это означает, что линии DM и AB параллельны (по определению параллельных линий, у которых соответствующие углы равны).

Таким образом, мы доказали, что DM || AB на основе свойств биссектрисы и перпендикулярности в данной геометрической ситуации.