Question

В прямоугольном треугольнике АBC с гипотенузой АС внешний угол при вершине А равен 120 градусам, AB+AC=18см. Найдите длину гипотенузы треугольника.

Answer 1

Ответ: 12 см

Объяснение: во вложенном файле

Answer 2

Обозначим стороны треугольника следующим образом:

• Гипотенуза: AC
• Катеты: AB и BC

Известно, что внешний угол при вершине A равен 120 градусам. Внешний угол при вершине треугольника равен сумме двух внутренних углов, не инцидентных данной стороне. Таким образом, внутренний угол при вершине B равен 180° - 120° = 60°.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то у него есть один прямой угол. Значит, внутренний угол при вершине C равен 180° - 90° = 90°.

Теперь, с учетом того, что сумма углов в треугольнике равна 180°, мы можем найти внутренний угол при вершине A:

Угол A = 180° - Угол B - Угол C Угол A = 180° - 60° - 90° Угол A = 30°

Таким образом, мы знаем, что треугольник ABC является треугольником с углами 30°, 60° и 90°.

Далее, используем данное уравнение из условия: AB + AC = 18 см.

Так как у нас есть прямоугольный треугольник, то мы можем воспользоваться соотношениями из тригонометрии:

AC = AB / sin(Угол C) AB = AC * sin(Угол C)

Зная, что sin(30°) = 0.5 и sin(60°) = √3 / 2, мы можем записать:

AB + AC = AC * sin(60°) + AC * sin(30°) 18 = AC * (√3 / 2 + 0.5) AC = 18 / (√3 / 2 + 0.5)

Рационализуем дробь, умножив и числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

AC = 18 * (2 / (√3 + 2)) AC = 36 / (√3 + 2) AC = 36 * (√3 - 2) / (3 - 4) AC = 36 * (√3 - 2) / -1 AC = 36 * (2 - √3)

Таким образом, длина гипотенузы AC треугольника ABC равна 36 * (2 - √3) см.