Question

Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 20 см и 15 см. Разность проекций этих наклонных равна 10 см. Найти проекции наклонных.

Answer 1

Ответ:

13,75 см; 3,75 см

Объяснение:

Пусть из точки В проведены две наклонные : ВА=20 см и ВС =15 см ; опустим из точки В к плоскости перпендикуляр ВН .Соединим отрезками точки А и Н; точки С и Н.Получили два прямоугольных треугольника:

ΔАВН   и  ΔВСН ,  в которых катеты АН и СН - это проекции наклонных.

АН-СН=10

СН примем за х,тогда АН=10+х

По теореме Пифагора

ВН²=АВ²-АН²        и      ВН²=ВС²- СН²,значит

АВ²-АН² =ВС²- СН²

20²-(х+10)²=15²-х²

400-х²-20х-100=225-х²

-х²-20х+х²=225-300

-20х= -75

х= -75:(-20)

х=3,75 см   - СН

АН=3,75+10=13,75 см

Answer 2

Пусть точка, из которой проведены наклонные, находится в координатах (x, y, z), а плоскость задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0.

Давайте обозначим векторы наклонных как $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$. Поскольку длины наклонных равны 20 см и 15 см, мы можем записать:

$\vec{v_1} = 20\vec{u_1}$, $\vec{v_2} = 15\vec{u_2}$,

где $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$ - нормированные направляющие векторы наклонных.

Мы знаем, что разность проекций наклонных равна 10 см. Это означает, что разность проекций векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ на нормаль плоскости равна 10 см:

$|\vec{v_1} \cdot \vec{n}| - |\vec{v_2} \cdot \vec{n}| = 10$,

где $\vec{n}$ - нормальный вектор плоскости.

Так как $\vec{v_1} = 20\vec{u_1}$ и $\vec{v_2} = 15\vec{u_2}$, а также что проекция вектора на нормальный вектор равна длине вектора, умноженной на косинус угла между ними:

$20|\vec{u_1} \cdot \vec{n}| - 15|\vec{u_2} \cdot \vec{n}| = 10$.

Теперь давайте предположим, что нормированные направляющие векторы наклонных суть $\vec{u_1} = (a, b, c)$ и $\vec{u_2} = (d, e, f)$, где $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ и $d^2 + e^2 + f^2 = 1$.

Теперь у нас есть два уравнения:

$20|(a, b, c) \cdot \vec{n}| - 15|(d, e, f) \cdot \vec{n}| = 10$