Question

Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 189 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Answer 1

Гипотенуза - это с

Катет - это в

с+в=189 (по условию задачи)

меньший катет лежит против меньшего острого угла равного 30*(90-60=30*), тогда гипотенуза равна с=2в

2в+в=189

3в=189

в=189:3

в=63, с=189-63=126

Answer 2

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол BAC равен 60°. Пусть AB - гипотенуза, BC - меньший катет, а AC - больший катет.

Согласно тригонометрическим соотношениям в прямоугольных треугольниках, мы знаем следующее:

1. $\cos(60°) = \frac{BC}{AB}$
2. $\sin(60°) = \frac{AC}{AB}$

Также, нам дано, что $AB + BC = 189$ см.

1. Рассчитаем $BC$ через $\cos(60°)$: $\cos(60°) = \frac{BC}{AB} \Rightarrow BC = AB \cdot \cos(60°)$

2. Рассчитаем $AC$ через $\sin(60°)$: $\sin(60°) = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AC = AB \cdot \sin(60°)$

Подставим в уравнение $AB + BC = 189$: $AB + AB \cdot \cos(60°) = 189$ $AB \cdot (1 + \cos(60°)) = 189$ $AB \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{2} = 189$ $AB = \frac{2 \cdot 189}{1 + \sqrt{3}}$ $AB = \frac{378}{1 + \sqrt{3}}$ $AB = \frac{378 \cdot (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) \cdot (\sqrt{3} - 1)}$ $AB = \frac{378 \cdot (\sqrt{3} - 1)}{3 - 1}$ $AB = \frac{378 \cdot (\sqrt{3} - 1)}{2}$ $AB = 189 \cdot (\sqrt{3} - 1)$

Теперь, мы можем найти $BC$ и $AC$:

$BC = AB \cdot \cos(60°) = 189 \cdot (\sqrt{3} - 1) \cdot \frac{1}{2} = 94.5 \cdot (\sqrt{3} - 1)$

$AC = AB \cdot \sin(60°) = 189 \cdot (\sqrt{3} - 1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 94.5 \cdot (\sqrt{3}^2 - \sqrt{3})$

Таким образом, гипотенуза $AB$ равна $189 \cdot (\sqrt{3} - 1)$