Question

Вписане в рівнобедрений трикутник коло ділить бічну сторону у відношенні 2 : 3, починаючи від основи. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 70 см.

Answer 1

Завдання виконано на фото.

Answer 2

Позначимо сторону рівнобедреного трикутника, що ділиться колом, через "x". Тоді друга частина бічної сторони буде мати довжину "3x" (відношення 2:3). Інша бічна сторона трикутника також має довжину "3x" (оскільки трикутник рівнобедрений).

За властивостями кола, півпериметр трикутника дорівнює півдовжині периметра кола: $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{70}{2} = 35$.

Де a, b, c - сторони трикутника.

Знаючи півпериметр трикутника, ми можемо скористатися формулою для радіусу вписаного кола, яка виглядає так: $r = \frac{A}{s}$, де A - площа трикутника.

Площа трикутника можна знайти за формулою Герона: $A = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}$.

Підставимо значення площі у формулу для радіусу кола: $r = \frac{\sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}}{s}$.

Коли ми знаємо радіус вписаного кола, ми можемо використовувати трикутник з центром у колі, одну зі сторін як радіус і одну зі сторін як діаметр кола.

За теоремою про вписаний кут: $a + b = 2r$, де a і b - довжини катетів трикутника, що протилежні від вписаного кута.

Таким чином, $a + 3x = 2r$, $3x + 3x = 2r$, $6x = 2r$, $r = 3x$.

Підставляючи r у вираз для радіусу вписаного кола, маємо: $3x = \frac{\sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}}{s}$.

Далі, ми можемо розв'язати це рівняння відносно x та підставити значення x у вирази для сторін трикутника $a$, $b$ та $c$.

Отже, ця процедура дозволить знайти довжини сторін рівнобедреного трикутника.