Question

У треугольника ABC вписана окружность с центром в точке O. K, M, N-точки соприкосновения окружности соответственно к сторонам AB, BC, и AC треугольника. Докажите, что AK+BM=BK+AN. Заранее спасибо

Answer 1

Ответ:

Фото

Объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию и докажем данное утверждение.

Пусть дан треугольник ABC, в который вписана окружность с центром O. Точки касания окружности с сторонами треугольника обозначим как K (сторона AB), M (сторона BC) и N (сторона AC), как показано на рисунке:

mathematicaCopy code
        A
       / \
      /   \
  N /_____\ K
    \     /
     \   /
      \ /
       B
        \
         \
          \
           \
            C

Теперь давайте рассмотрим треугольник AOK. По построению, OK является радиусом вписанной окружности, а также OK перпендикулярен стороне AC, так как OK является радиусом исписанной окружности треугольника ABC.

Аналогично, рассмотрим треугольник BOK. По аналогичным рассуждениям, BK также является радиусом вписанной окружности и перпендикулярен стороне AB.

Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника AOK и BOK, в которых:

1. OA = OK (по радиусу вписанной окружности)
2. OB = BK (по радиусу вписанной окружности)
3. OK ⊥ AC
4. BK ⊥ AB

Теперь давайте рассмотрим следующие равенства:

1. AK = AO + OK (по теореме Пифагора в треугольнике AOK)
2. BM = BO + BK (по теореме Пифагора в треугольнике BOK)

Суммируя оба равенства, получаем:

AK + BM = AO + OK + BO + BK

Так как AO = BO (радиусы одной и той же окружности равны), а также OK = BK (по нашим рассуждениям о прямоугольных треугольниках), мы можем упростить это выражение:

AK + BM = AO + BO + OK + BK AK + BM = AB + OK + BK

Но заметьте, что OK + BK = KN (по построению), а также AB = AN (по определению стороны треугольника). Таким образом:

AK + BM = AN + KN AK + BM = AN + AK

Из этого следует, что:

AK + BM = BK + AN

Таким образом, мы доказали, что AK + BM = BK + AN, что и требовалось доказать.