Question

Прямая, параллельная стороне DM треугольника DKM, пересекает его сторону DK в точке P, а сторону MK — в точке N. Найдите площадь трапеции DPNM, если KP = 8 см, PD = 20 см, а площадь треугольника DKM равна 98 см2.

Answer 1

Дано:

ΔDKM.

P ∈ DK, N ∈ MK.

DM║PN.

KP = 8 см.

PD = 20 см.

S(ΔDKM) = 98 см².

Найти:

S(DPNM) = ?

Решение:

1) Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него подобный треугольник. В нашем случае DM║PN, следовательно, ΔPKN~ΔDKM.

2) ∠PNK = ∠DMN (как накрест лежащие при параллельных прямых), поэтому, для ΔPKN и ΔDKM противолежащие этим углам стороны - сходственные стороны (PK и DK - сходственные стороны).

3) Отношение сходственных сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

То есть :

$\frac{DK}{PK} = k\\\frac{28}{8} = 3,5\\k=3,5$

Коэффициент подобия = 3,5.

4) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

То есть :

$\frac{S(DKM)}{S(PKN)} =k^{2} \\\frac{98}{S(PKN)} = 3,5^{2} \\\frac{98}{S(PKN)} = 12,25\\ S(PKN)=8$

S(ΔPKN) = 8 cм².

5) S(DPNM) = S(ΔDKM)-S(ΔPKN) = 98 см²-8 см² = 90 см² (по свойству площадей многоугольников).

Ответ: 90 см².

Answer 2

Давайте разберемся с данными и построим схему. У нас есть треугольник DKM, в котором:

• Площадь треугольника DKM (S₁) = 98 см².
• Прямая, параллельная стороне DM, проходит через точку P на стороне DK и точку N на стороне MK.
• KP = 8 см.
• PD = 20 см.

Мы хотим найти площадь трапеции DPNM.

Давайте воспользуемся площадью треугольника DKM для получения дополнительной информации. Площадь треугольника можно выразить через базис и высоту:

$S₁ = \frac{1}{2} \cdot DM \cdot KM.$

Так как площадь уже дана (S₁ = 98 см²), а высоту мы пока не знаем, давайте выразим её:

$98 = \frac{1}{2} \cdot DM \cdot KM.$

$DM \cdot KM = 196.$

Теперь вернемся к трапеции DPNM. Мы знаем, что параллельные стороны трапеции пропорциональны и можно записать следующее:

$\frac{KP}{PD} = \frac{MN}{DM}.$

$\frac{8}{20} = \frac{MN}{DM}.$

$\frac{2}{5} = \frac{MN}{DM}.$

Так как $MN = DM - DN$, подставим выражение для $MN$ и получим:

$\frac{2}{5} = \frac{DM - DN}{DM}.$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $DN$:

$2 \cdot DM = 5 \cdot (DM - DN).$

$2 \cdot DM = 5 \cdot DM - 5 \cdot DN.$

$3 \cdot DM = 5 \cdot DN.$

$DN = \frac{3}{5} \cdot DM.$

Мы выразили высоту DN через базис DM. Теперь мы можем использовать формулу для площади трапеции:

$S_{\text{трапеции}} = \frac{1}{2} \cdot (KP + PD) \cdot DN.$

$S_{\text{трапеции}} = \frac{1}{2} \cdot (8 + 20) \cdot \frac{3}{5} \cdot DM.$

$S_{\text{трапеции}} = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot \frac{3}{5} \cdot DM.$

$S_{\text{трапеции}} = \frac{42}{5} \cdot DM.$

Теперь мы можем подставить значение $DM \cdot KM$, которое мы выразили из площади треугольника DKM:

$S_{\text{трапеции}} = \frac{42}{5} \cdot 196.$

$S_{\text{трапеции}} = 42 \cdot 39.2.$

$S_{\text{трапеции}} = 1646.4 \, \text{см²}.$

Итак, площадь трапеции DPNM составляет 1646.4 см².