Question

Докажите, что четырехугольник с вершинами А (1;2), В (4;-1), С(8;3), D(5;6) является прямоугольником. ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

*Рассчитаем длины сторон четырехугольника

IABI²=(1-4)² + (2-(-1))²=(-3)²+(3)²=9+9=18

IABI=√18

ICDI²=(5-8)²+(6-3)²=(-3)²+3²=9+9=18

ICDI=√18

IADI²=(5-1)²+(6-2)²=4²+4²=32

IADI=√32

IBCI²=(8-1)²+(3-(-1))²=4²+4²=16+16=32

IBCI=√32

стороны в четырехугольнике равны в парах

* рассчитываем длины диагонали

IACI²=(8-1)²+(3-2)²=7²+1²=49+1=50

IACI=√50

IBDI²=(5-4)²+(6-(-1))²=1²+7²=1+49=50

IBDI=√50

длины четырехугольных диагоналей равны

OTBET: если в четырехугольнике стороны равны попарно, а его диагонали равны, то это прямоугольник, который должен быть показан

Answer 2

Чтобы доказать, что данный четырёхугольник является прямоугольником, нам нужно показать, что его противоположные стороны перпендикулярны и имеют равные длины.

Сначала давайте вычислим длины сторон четырёхугольника:

1. Сторона AB: Длина AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((4 - 1)^2 + (-1 - 2)^2) = √(9 + 9) = √18.

2. Сторона BC: Длина BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((8 - 4)^2 + (3 - (-1))^2) = √(16 + 16) = √32.

3. Сторона CD: Длина CD = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((5 - 8)^2 + (6 - 3)^2) = √(9 + 9) = √18.

4. Сторона DA: Длина DA = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((1 - 5)^2 + (2 - 6)^2) = √(16 + 16) = √32.

Мы видим, что соседние стороны имеют разные длины (AB ≠ BC и CD ≠ DA), а противоположные стороны имеют равные длины (AB = CD и BC = DA). Теперь давайте проверим, являются ли противоположные стороны перпендикулярны друг к другу.

Для этого посчитаем произведение коэффициентов наклона противоположных сторон:

1. Произведение наклонов AB и CD: Коэффициент наклона AB = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 2) / (4 - 1) = -1. Коэффициент наклона CD = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (6 - 3) / (5 - 8) = -1.

   Произведение: -1 * -1 = 1.

2. Произведение наклонов BC и DA: Коэффициент наклона BC = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (3 - (-1)) / (8 - 4) = 1. Коэффициент наклона DA = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (2 - 6) / (1 - 5) = 1.

   Произведение: 1 * 1 = 1.

Мы видим, что произведение наклонов противоположных сторон равно 1 в обоих случаях, что означает, что эти стороны перпендикулярны друг другу.

Итак, у нас есть две пары перпендикулярных противоположных сторон с равными длинами, что делает четырёхугольник ABCD прямоугольником.