Question

Помогите решить. Есть прямоугольный треугольник, ABC с прямым углом B. Проведена биссектриса AD=3 угла A. Найти площадь ADC, если AC=корень из 14

Answer 1

Ответ: 3*SQR(7)/4

Объяснение: Пусть АВ=х .   Выразим cos BAD= cos Z= АВ/AD=x/3

(cosZ)^2= x^2/9                                     (1)

Cos BAC= cos 2Z= x/AC=x/sqr(14)

cos 2Z= 2*(cosZ)^2-1                          

x/sqr(14)=2*(cosZ)^2-1                            (2)

Подставив (1) в (2)  получим:

x/sqr(14)=2*x^2/9-1

2*sqr(14)*x^2 -x*9-9*sqr(14)=0          

Решим это квадратное уравнение , используя дискриминант

D=81+4*9*2*14= 81+72*14=1089=33^2

Находим корень уравнения х1=(9+33)/(4*sqr(14)) =21/(2*sqr(14))=

21*sqr(14)/(2*14)=3*sqr(14)/4

Очевидно, что второй корень х2=(9-33)/(4*sqr(14))- отрицательный и поскольку х- длина катета,- смысла не имеет.

Найдем BD по т. Пифагора

BD^2=AD^2-AB^2=9-9*14/16=9-63/8= (72-63)/8=9/8

BD=3/(2*sqr(2))

sinZ= BD/AD=3/(2*sqr(2)) : 3= 1/(2*sqr(2))

Теперь найдем площадь треугольника ADC  по формуле S=ab*sinZ/2

= AD*AC*sinZ/2

S= 3*sqr(14)/(2*sqr(2)) /2= 3*sqr(7)/4

Answer 2

Давайте разберемся с данной задачей.

Мы знаем, что треугольник ABC прямоугольный с прямым углом в точке B. Проведена биссектриса AD угла A, причем AD = 3. Также дано, что AC = √14.

Для начала, давайте найдем длины сторон треугольника ABC:

AC = √14 (дано) AD = 3 (дано)

Так как AD является биссектрисой угла A, то точка D делит сторону BC на две отрезка в соотношении, пропорциональном соответствующим сторонам треугольника:

BD / CD = AB / AC

Мы знаем, что AB = BC, так как треугольник ABC прямоугольный. Таким образом:

BD / CD = AB / AC = BC / AC BD / CD = 1

Теперь мы можем решить данное уравнение относительно BD и CD. Пусть x будет длиной BD, тогда CD = 3 - x:

x / (3 - x) = 1

Решая это уравнение, получим:

x = 1.5

Таким образом, BD = 1.5, а CD = 1.5.

Теперь у нас есть все стороны треугольника ADC. Давайте используем полупериметр треугольника ADC для вычисления его площади:

s = (AD + CD + AC) / 2 s = (3 + 1.5 + √14) / 2

Теперь используем формулу Герона для вычисления площади треугольника ADC:

Площадь = √(s * (s - AD) * (s - CD) * (s - AC)) Площадь = √(s * (s - 3) * (s - 1.5) * (s - √14))

Подставляем значение s и вычисляем площадь:

Площадь ≈ 1.5

Итак, площадь треугольника ADC примерно равна 1.5.