Question

В призме ABCA1B1C1 точки M, N и P – середины рёбер A1B1, B1C1 и C1A1 соответственно. Отрезки BM, CN и AP попарно перпендикулярны, и длина каждого равна a. Найдите объём призмы.

Answer 1

Решение : /////////////////////////////////////////

Answer 2

Обозначим длину ребра призмы как "h", а длину отрезка BM (и соответственно отрезков CN и AP) как "a". Также обозначим точку пересечения отрезков BM и CN как "O".

Поскольку BM, CN и AP перпендикулярны друг другу и имеют одинаковую длину a, то треугольники BMO, CNO и APO являются прямоугольными треугольниками.

Так как BM и CN перпендикулярны и имеют общую точку O, то треугольник BMO и треугольник CNO подобны друг другу по гипотенузе и одному катету. Аналогично, треугольник CNO и треугольник APO подобны друг другу.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BMO:

• Гипотенуза: BM = a (длина отрезка BM)
• Катеты: BO = CO = h/2 (половина длины ребра призмы)

Из подобия треугольников BMO и CNO: BO/CN = MO/NO (h/2)/h = MO/NO 1/2 = MO/NO MO = NO/2

Аналогично, из подобия треугольников CNO и APO: CO/AP = NO/PO (h/2)/h = NO/PO 1/2 = NO/PO NO = PO/2

Таким образом, MO = NO = PO/2.

Поэтому треугольник APO также является прямоугольным с катетами AP и PO/2.

Теперь рассмотрим объём призмы ABCA1B1C1. Этот объём можно представить как объём прямоугольной призмы A1B1C1PO, умноженный на коэффициент, учитывающий подобие треугольников BMO, CNO и APO.

Объём прямоугольной призмы A1B1C1PO: V_rectangular_prism = A1B1 * PO * h, где A1B1 - длина ребра A1B1 призмы.

Так как треугольник BMO подобен треугольнику CNO, а треугольник CNO подобен треугольнику APO, то коэффициент подобия для всех трёх пар треугольников одинаковый.

Поэтому объём призмы ABCA1B1C1: V_prism = V_rectangular_prism * коэффициент подобия = A1B1 * PO * h * коэффициент подобия.

Так как треугольник APO подобен треугольникам BMO и CNO, то коэффициент подобия можно найти как квадрат отношения катета AO (или PO) к гипотенузе APO.

Коэффициент подобия = (PO/AO)^2 = (2*NO/A1B1)^2 = (2/3)^2 = 4/9.

Итак, объём призмы ABCA1B1C1: V_prism = A1B1 * PO * h * (4/9).

Так как A1B1 = h (ребро призмы), а PO = 2 * NO = 2 * (h/2) = h, то V_prism = h * h * h * (4/9) = 4h^3 / 9.

Таким образом, объём призмы ABCA1B1C1 равен 4h^3 / 9.