Question

Отрезки АМ и БК пересекаются в точке О при чем ОА=ОМ,ОБ=ОК Доказать что прямые АБ и МК параллельны Плиз помогите дам 20б

Answer 1

★☆★ Чертёж смотрите во вложении ★☆★

Дано:

Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О.

Точка О — серединная точка для отрезков АМ и ВК (ОА = ОМ ; ОВ = ОК).

Доказать:

АВ║МК.

Доказательство:

                       ⵈ◊ⵈ Для седьмого класса ⵈ◊ⵈ

Соединим точки А и В отрезком АВ ; точки В и М отрезком ВМ ; точки К и М отрезком КМ ; точки А и К отрезком АК.

Рассмотрим ΔАОВ и ΔМОК.

ОА = ОМ (по условию).

ОВ = ОК (по условию).

∠АОВ = ∠МОК (как вертикальные).

Следовательно, ΔАОВ = ΔМОК по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

▸В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы◂

ОВ = ОК.

Следовательно, ∠ВАО = ∠ОМК.

Рассмотрим прямые АВ и МК при секущей АМ.

▸Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны◂

Накрест лежащие ∠ВАО = ∠ОМК (по выше доказанному), следовательно, АВ║МК (по выше сказанному).

                       ⵈ◊ⵈ Для восьмого класса ⵈ◊ⵈ

Соединим точки А и В отрезком АВ ; точки В и М отрезком ВМ ; точки К и М отрезком КМ ; точки А и К отрезком АК.

Рассмотрим получившиеся выпуклый четырёхугольник АКМВ.

АМ и ВК — диагонали.

▸Если диагонали выпуклого четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм◂

ОА = ОМ (по условию).

ОВ = ОК (по условию).

Следовательно, четырёхугольник АКМВ — параллелограмм.

▸Параллелограмм — четырёхугольник, противоположные стороны которого параллельны ◂

Поэтому, по выше сказанному —

АВ║МК ; АК║ВМ.

▔ ▔ ▔

Ответ:

что требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства параллельности прямых АБ и МК мы можем использовать свойство соответственных углов при пересечении двух параллельных прямых.

По условию, у нас есть две пары равных отрезков: ОА = ОМ и ОБ = ОК.

Обозначим угол ОАБ как α и угол МКО как β.

Так как ОА = ОМ, то треугольники ОАМ и ОМА равнобедренные, а значит, угол ОМА равен α.

Аналогично, так как ОБ = ОК, то угол ОКМ равен α.

Теперь мы видим следующее:

1. Угол ОАБ = α (из равнобедренности треугольника ОАМ).
2. Угол МКО = α (из равнобедренности треугольника ОКМ).

Так как углы ОАБ и МКО равны, это означает, что прямые АБ и МК пересекаются под углом α.

Теперь давайте рассмотрим дополнительный угол у прямой АБ, обозначим его как γ.

Так как сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусам, то в треугольнике ОАБ:

α + γ + α = 180° 2α + γ = 180° γ = 180° - 2α

Таким образом, мы видим, что угол γ на прямой АБ зависит только от угла α.

Теперь давайте рассмотрим угол у прямой МК, обозначим его как δ.

В треугольнике МКО:

α + δ + α = 180° 2α + δ = 180° δ = 180° - 2α

Мы видим, что угол δ на прямой МК также зависит только от угла α.

Таким образом, мы приходим к выводу, что углы γ и δ на прямых АБ и МК соответственно равны между собой и не зависят от точки пересечения.

Если углы на двух прямых равны и не зависят от точки пересечения, то эти прямые параллельны.

Таким образом, прямые АБ и МК параллельны, что и требовалось доказать.