Question

Длины сторон выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 4. Периметр многоугольника равен 75, а наибольшая сторона равна 23. Сколько сторон имеет данный многоугольник? Нужно срочно. Спасибо.

Answer 1

Ответ 5.

Решение задания приложено

Answer 2

Пусть количество сторон многоугольника равно $n$. Тогда можно выразить длины всех сторон через первый член прогрессии $a$ и разность прогрессии $d$:

1. Длина наибольшей стороны: $a + (n-1) \cdot d = 23$
2. Длина наименьшей стороны: $a$
3. Сумма длин всех сторон (периметр): $\text{периметр} = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1) \cdot d)$

Мы знаем, что периметр равен 75, а наибольшая сторона равна 23. Также разность прогрессии $d = 4$.

Подставим значения и решим уравнение:

$$\frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1) \cdot 4) = 75$$

Упростим уравнение:

$$n \cdot (2a + 4n - 4) = 150$$

$$2an + 4n^2 - 4n - 150 = 0$$

$$2an + 4n^2 - 4n - 150 = 0$$

$$2n(a + 2n - 2) = 150$$

$$n(a + 2n - 2) = 75$$

Так как $a + 2n - 2$ - это целое число, и у нас есть ограничение, что наибольшая сторона равна 23, то $a + 2n - 2 \leq 23$.

Попробуем различные значения для $a$ и $n$, учитывая ограничения:

1. $a = 3, n = 25$ - не подходит, так как наибольшая сторона будет больше 23.
2. $a = 7, n = 17$ - не подходит по тем же причинам.
3. $a = 11, n = 9$ - подходит, так как наибольшая сторона остается в рамках 23.

Таким образом, данный выпуклый многоугольник имеет 9 сторон.