Question

Докажите, что перпендикуляр, проведëнный из точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD к прямой AB, является средней линией треугольника ABC.​

Answer 1

Решение:

1)Отметим пересечение диагоналей прямоугольника ABCD точкой Е.

Проведём из точки Е перпендикуляр (или высоту) EF к прямой АВ.

Диагонали прямоугольника равны.

=> BD = AC.

Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.

=>АЕ = EC = ED = BE.

Из этого =>, что △ВЕА - равнобедренный (АЕ = ЕВ)

Высота, проведённая из вершины равнобедренного треугольника к основанию равнобедренного треугольника, является медианой и биссектрисой.

=> ВF = FA, так как FE - медиана.

2)Так как BF = FA, AE = EC => F и Е - середины АС и АВ.

3) Из 2) =>, что FE - средняя линия △АВС.

Ч.Т.Д.

Answer 2

Давайте обозначим прямоугольник ABCD следующим образом:

A -- вершина A B -- вершина B C -- вершина C D -- вершина D O -- точка пересечения диагоналей AC и BD E -- проекция точки O на сторону AB F -- середина стороны AB

Чтобы доказать, что перпендикуляр, проведенный из точки O к прямой AB, является средней линией треугольника ABC, нам необходимо показать, что он проходит через середину стороны AB и перпендикулярен ей.

1. Докажем, что точка E -- проекция точки O на сторону AB, совпадает с серединой стороны AB (точкой F).

Из свойств прямоугольника мы знаем, что диагонали пересекаются в точке O и делят друг друга пополам. То есть, AO = OC и BO = OD.

Теперь рассмотрим треугольник AEO. Поскольку AO = OC, а угол AOE общий, треугольники AOE и COE равнобедренные. Это означает, что высота OE, проведенная из вершины O, будет одновременно медианой, биссектрисой и высотой треугольника AEO. Таким образом, точка E -- точка пересечения медиан треугольника AEO и, следовательно, также является серединой стороны AE.

Аналогичными рассуждениями можно показать, что точка E также является серединой стороны EB.

Таким образом, точка E совпадает с точкой F, которая является серединой стороны AB.

2. Докажем, что перпендикуляр, проведенный из точки O к прямой AB, перпендикулярен ей.

Поскольку OE = EF (по доказанному выше), а EO перпендикулярен EF (по свойству медианы треугольника), то перпендикуляр, проведенный из точки O к прямой AB, действительно перпендикулярен ей.

Таким образом, мы доказали, что перпендикуляр, проведенный из точки O к прямой AB, проходит через середину стороны AB и перпендикулярен ей, что делает его средней линией треугольника ABC.