Question

У трикутнику АВС медіана АК перетинає медіану ВД у точці L. Площа чотирикутника LКСД дорівнює 7 . Знайдіть площу трикутника АВС.

Answer 1

Ответ:

21

Объяснение:

Известно, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении  2:1 , считая от вершины. То есть BL:LD=2:1,  то есть BL:BD=2:3

Рассмотрим треугольник BDC. Пусть его площадь равна х.

Тогда площадь треугольника BLK=S(BLK)=  x*(BL/BD)*(BK/BC)= x*2/3*1/2=x/3

Следовательно площадь четырехугольника LKCD= 2x/3=7

2x=21       x=21/2

Площади треугольников CBD и ABD  равны.

Значит S(ABC)=S(CBD)+S(ABD)=21/2+21/2 =21

Answer 2

Позначимо точку перетину медіан АК і ВД як L, а точку перетину медіан БС і АВ як М. Оскільки медіана поділяє сторону пополам, точка М є серединою сторони АВ.

Також знаємо, що медіани перетинаються відносно точки перетину у співвідношенні 2:1. Це означає, що довжина АЛ становить дві третини довжини КЛ, і довжина ВЛ становить одну третину довжини КЛ.

Позначимо площі трикутників АВС, АКС і СКВ як S(АВС), S(АКС) і S(СКВ) відповідно.

За властивістю медіан трикутника, площі трикутників АКС і СКВ відносяться таким чином:

S(АКС) : S(СКВ) = АЛ : ВЛ = 2 : 1.

Також нам дано, що площа чотирикутника LКСД дорівнює 7:

S(LКСД) = 7.

Площа чотирикутника LКСД може бути розкладена на площі двох трикутників: S(LКС) і S(СКД). Оскільки трікутники LКС і СКВ мають спільну висоту і паралельні основи, то їхні площі відносяться так:

S(LКС) : S(СКВ) = АЛ : ВЛ = 2 : 1.

Звідси ми можемо записати, що:

S(СКД) = S(LКС) = 7 / 2.

Також можна виразити площу трикутника АКС через площу СКД:

S(АКС) = S(СКВ) + S(СКД) = S(СКВ) + 7 / 2.

Оскільки S(АКС) : S(СКВ) = 2 : 1, ми можемо записати:

S(СКВ) = 2/3 * S(АКС),

і підставивши це у вираз для S(АКС):

S(АКС) = 2/3 * S(АКС) + 7 / 2.

Тепер вирішимо рівняння відносно S(АКС):

1/3 * S(АКС) = 7 / 2,

S(АКС) = 21.

Отже, площа трикутника АВС дорівнює подвійному значенню площі трикутника АКС:

S(АВС) = 2 * S(АКС) = 2 * 21 = 42.

Отже, площа трикутника АВС дорівнює 42.