Question

В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1, CC1. Чему равны углы треугольника A1B1C1, если ∠A=40∘, ∠B=66∘, ∠C=74∘?

Answer 1

Ответ:

A1=100, B1=48, C1=32градусов

Объяснение:

Пусть точка пересечения высот Т

Из треугольника ВСВ1 найдем угол  СВВ1=90-74=16 град, АВВ1=50 град

Аналогично из треугольника ВСС1 угол ВСС1=24 град, а угол С1СА=74-24=50 градусов

Из треугольника АА1С угол САА1=16 град, ВАА1=24 градусов

Рассмотрим четырехугольник СВ1ТА1.  Углы СА1Т и СВ1Т равны по 90 градусов. Значит вокруг четырехугольника СВ1ТА1  можно описать окружность.  Опишем такую окружность .  Заметим, что

угол В1А1Т=В1СТ=50 град ( опираются на одну дугу ТВ1).

А угол А1В1Т=А1СТ=24 град ( опираются на 1 дугу А1Т)

Аналогично вокруг четырехугольника ВА1ТС1 описываем окружность.

Тогда угол С1А1Т=С1ВТ=50 град  ( опираются на одну дугу С1Т).

Отсюда следует, чтоугол А1=В1А1Т+С1А1Т=50+50=100 град

Угол А1С1Т=А1ВТ=16 (опираются на 1 дугу А1Т)

Наконец проводим окружность около четырехугольника АС1ТВ1

В1С1Т=В1АТ=16 град

Значит С1=А1С1Т+В1С1Т=16+16=32 град

Угол С1В1Т=С1АТ=24 град

Тогда угол В1= А1В1Т+С1В1Т=24+24=48 град

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим свойства высот треугольника и их влияние на углы второго треугольника.

1. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром. Пусть ортоцентр треугольника ABC обозначается как O.

2. Высоты треугольника перпендикулярны соответствующим сторонам.

3. Каждая высота делит соответствующий угол пополам.

Теперь давайте рассмотрим треугольник A1B1C1. С учетом свойств высот треугольника, углы A1B1C1 будут равны половинам углов треугольника ABC, смежных с основаниями A1B1, B1C1 и C1A1.

∠A1 = 1/2 * ∠B = 1/2 * 66° = 33° ∠B1 = 1/2 * ∠C = 1/2 * 74° = 37° ∠C1 = 1/2 * ∠A = 1/2 * 40° = 20°

Итак, углы треугольника A1B1C1 равны: ∠A1 = 33° ∠B1 = 37° ∠C1 = 20°