Question

В правильной четырехугольной призме АВCDА1В1C1D1, АС=52 см, ВВ1=3см. Найдите: а) сторону основания б) диагональ боковой грани в) диагональ призмы г) площадь основания д) площадь диагонального сечения е) площадь боковой поверхности ж) площадь поверхности призмы.

Answer 1

Ответ:

Объяснение: ВВ1=АА1=СС1=ДД1=3. В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат, поэтому все стороны нижнего и верхнего оснований равны. Диагональ АС делит основание на 2 равных равнобедренных прямоугольных треугольника, в которых стороны равны между собой и являются катетами а диагональ АС - гипотенузой. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы в √2 раз, поэтому стороны основания будут: 52/√2см

а) сторона основ=52/√2см

Теперь найдём площадь основания по формуле: S=a², где а- сторона основания:

г) Sосн=(52/√2)²=2704/2=1352см²

Боковая грань представляет собой прямоугольник.

Теперь найдём площадь боковой грани по формуле: S=a×b, где а и b- стороны прямоугольника:

Sбок.гр=52/√2×3=156/√2см²

Так как таких граней 4, то:

е) Sбок.пов=156/√2×4=624/√2см²

Оснований 2, поэтому площадь двух оснований: S2осн=1352×2=2704см²

Теперь найдём полную площадь призмы:

Sпол=Sбок+Sосн=624√2+2704=

=624/1,4+2704=445,7+2704=

=3149,7см²

ж) Sпол=3149,7см²

Рассмотрим ∆АА1Д. Он прямоугольный. В нём АА1 и ДД1 - катеты а диагональ В1Д - гипотенуза. Найдём А1Д по теореме Пифагора: А1Д²=АА1²+АД²=

=3²+(52/√2)²=9+2704/2=9+1352=1361;

б) А1Д=В1С=√1361см

Площадь диагонального сечения призмы - это прямоугольник А1В1СД. Найдём её по формуле площади прямоугольника:

д) S=СД×А1Д=52/√2×√1361=52√680,5см²

Рассмотрим ∆ВВ1Д. Он прямоугольный, в котором диагональ В1Д является гипотенузой а ВВ1 и ВД- катеты.

ВД- диагональ основания=диагонали АС=52см. Найдём диагональ призмы ВДпо теореме Пифагора: В1Д²=ВВ1²+ВД²=3²+52²=9+2704=2713см

В1Д=√2713см

в) диагональ призмы В1Д=√2713см

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте поочередно найдем каждую из указанных величин.

Пусть A, B, C и D - вершины основания призмы, а A1, B1, C1 и D1 - соответствующие вершины верхнего основания. Поскольку призма правильная, значит, основания являются квадратами.

а) Сторона основания (AB или BC) равна AC, так как призма правильная. Известно, что AC = 52 см.

б) Диагональ боковой грани (A1B1) также равна стороне верхнего основания (A1B1 = BB1 = 3 см).

в) Диагональ призмы (AC1) соединяет вершины A и C1 (вершины основания и верхнего основания). Мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник ABC1, где AC1 - гипотенуза. Зная катет AC (52 см) и катет BC (сторона основания), можем воспользоваться теоремой Пифагора:

AC1^2 = AC^2 + BC^2 AC1^2 = 52^2 + 52^2 AC1^2 = 2 * 52^2 AC1 = sqrt(2 * 52^2) AC1 ≈ 73.45 см

г) Диагональ призмы (A1C1) соединяет вершины A1 и C1 (две вершины верхнего основания). Также можем рассмотреть прямоугольный треугольник A1BC1, где A1C1 - гипотенуза. По той же теореме Пифагора:

A1C1^2 = A1B1^2 + BC1^2 A1C1^2 = 3^2 + 52^2 A1C1^2 = 9 + 2704 A1C1 = sqrt(2713) A1C1 ≈ 52.01 см

д) Площадь основания (ABCD) - это площадь квадрата. Площадь квадрата можно найти, возведя в квадрат длину его стороны:

Площадь основания = AB^2 = AC^2 = 52^2 = 2704 см^2

е) Площадь диагонального сечения (AB1C1A1) - это площадь квадрата, образованного диагональю AC1. Так как мы уже нашли длину этой диагонали:

Площадь диагонального сечения = A1C1^2 ≈ 2713 см^2

ж) Площадь боковой поверхности - это сумма площадей всех боковых граней. У нас есть 4 боковые грани, каждая из которых является прямоугольником. Площадь прямоугольника можно найти как произведение длины и ширины:

Площадь боковой поверхности = 4 * (AC * A1B1) = 4 * (52 * 3) = 624 см^2

з) Площадь поверхности призмы - это сумма площади оснований и площади боковой поверхности:

Площадь поверхности призмы = 2 * (Площадь основания) + Площадь боковой поверхности Площадь поверхности призмы = 2 * 2704 + 624 = 6032 см^2

Таким образом, найдены все указанные величины для данной правильной четырехугольной призмы.