Question

Площадь осевого сечения S=12см2, образующая l=5см. Найти площадь основания конуса.

Answer 1

Ответ: 24π(см²)

Объяснение: обозначим вершины осевого сечения конуса А В С, высоту конуса ВО. Площадью осевого сечения конуса является

равнобедренный треугольник, поскольку образующие АВ=ВС=5см. Высота ВО делит ∆АВС на 2 равных прямоугольных треугольника в которых АО, СО, ВО- катеты а АВ и ВС гипотенузы. АО=СО=радиусу. Если площадь АВС=12см², то площадь АОС=12/2=6см²

Рассмотрим ∆АВО. Пусть АО=r, BO=h. Составим систему уравнений:

r²+h²=AB²

½×r×h=S

r²+h²=5²

½×r×h=6

r²+h²=25

r×h=6÷½

r×h=6×2

r×h=12

r=12/h

Теперь подставим значение r в первое уравнение: r²+h²=25

(12/h)²+h²=25

144/h²+h²=25. Находим общий знаменатель и:

(144+h²)/h²=25

25h²=144+h²

25h²-h²=144

24h²=144

h²=144/24

h²=6

h=√6

Теперь подставим значение h во второе уравнение: r=12/h

r=12/√6.

Теперь зная радиус конуса найдём площадь основания по формуле:

Sосн=πr²=π×(12/√6)²=π×144/6=24π(см²)

Answer 2

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать формулу для объема конуса:

V = (1/3) * π * r^2 * h,

где V - объем конуса, π (пи) - математическая константа (приблизительно равна 3.14159), r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Дано: Площадь осевого сечения S = 12 см², Образующая l = 5 см.

Для нахождения радиуса основания конуса (r) нам потребуется воспользоваться свойством подобных фигур. Образующая (l) конуса является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного радиусом (r) и половиной образующей (l/2). Высота (h) конуса равна второй катете этого треугольника.

Применяем теорему Пифагора: l^2 = (l/2)^2 + h^2, 5^2 = (5/2)^2 + h^2, 25 = 25/4 + h^2, h^2 = 25 - 25/4, h^2 = 100/4, h = 5 см.

Теперь, когда у нас есть высота (h), мы можем найти радиус (r) основания конуса, используя подобные треугольники:

l/h = r/(l/2), 5/5 = r/(5/2), 1 = r/(5/2), r = 5/2.

Теперь мы можем подставить найденные значения в формулу объема конуса:

V = (1/3) * π * (5/2)^2 * 5, V = (1/3) * π * 25/4 * 5, V = (5/3) * π * 25/4, V = (125/12) * π.

Так как объем конуса равен (1/3) объема цилиндра с одинаковыми высотой и радиусом основания, и площадь осевого сечения (S) конуса равна 12 см², можно записать:

S = (1/3) * π * r^2, 12 = (1/3) * π * (5/2)^2, 12 = (1/3) * π * 25/4, 12 = (25/12) * π.

Теперь мы можем найти площадь основания конуса, поделив площадь сечения (S) на коэффициент (25/12):

Площадь основания = 12 / (25/12) = 12 * (12/25) = 144/25 = 5.76 см².

Итак, площадь основания конуса составляет 5.76 см².