Question

Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции​

Answer 1

Дано:

Равнобедренная трапеция $ABCD$.

$BC = 7$.

$AD = 13$.

${S}_{TP.} = 40$

Найти:

$AB = CD = ?$

Решение:

Т.к. трапеция равнобедренная, то по свойству $AB=CD$.

Проведём из вершины $B$ к основанию $AD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ высоту $BE$. Найдём величину этой высоты.

Т.к. ${S}_{TP.}=\dfrac{AD+BC}{2} \cdot BE$, то $BE=\dfrac{2\cdot S}{AD+BC}=\dfrac{2\cdot 40}{13+7} = \dfrac{80}{20}=4$.

Когда мы опустили высоту $BE$, у нас образовался прямоугольный $\triangle BEA$, где $BE$ и $AE$ - катеты, $AB$ - гипотенуза.

По т.Пифагора $AB=\sqrt{AE^2+BE^2}$ ⇒ $AE=\dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{13-7}{2}=3$

$BE=4$, $AE=3$ ⇒$AB=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$.

Ответ: $AB=CD=5$.

Answer 2

Обозначим основания равнобедренной трапеции как $a$ и $b$, где $a = 7$ и $b = 13$. Пусть $h$ - это высота трапеции.

Формула для площади трапеции: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h.$

Известно, что $S = 40$, поэтому: $40 = \frac{7 + 13}{2} \cdot h.$

Выразим $h$: $h = \frac{40 \cdot 2}{7 + 13} = \frac{80}{20} = 4.$

Теперь, чтобы найти боковую сторону трапеции (заметим, что она равна боковой стороне равнобедренного треугольника, который образуется высотой трапеции и одной из её боковых сторон), мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для этого треугольника:

$\text{боковая сторона}^2 + \text{половина основания}^2 = \text{высота}^2.$

Подставляя известные значения: $\text{боковая сторона}^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2 = 4^2.$

Решаем уравнение относительно боковой стороны: $\text{боковая сторона}^2 + \frac{49}{4} = 16,$ $\text{боковая сторона}^2 = 16 - \frac{49}{4},$ $\text{боковая сторона}^2 = \frac{64}{4} - \frac{49}{4},$ $\text{боковая сторона}^2 = \frac{15}{4},$ $\text{боковая сторона} = \frac{\sqrt{15}}{2}.$

Таким образом, боковая сторона трапеции равна $\frac{\sqrt{15}}{2}$.