Question

Два кола, радіуси яких дорівнюють R і r(r < R), дотикаються зовні. Знайдіть радіус більшого з кіл, що дотикаються до цих кіл та їхньої спільної зовнішньої дотичної.

Answer 1

Позначимо шуканий радіус як t.

З'єднавши центри кіл, та провівши від них перпендикуляри до дотичної, отримаємо прямокутну трапецію, основи якої дорівнюють R та r, а похила бічна - R + r.

Бічна що залишилась, знаходиться з допомогою теореми Піфагора: $\sqrt{(R+r)^2 - (R-r)^2} = 2\sqrt{Rr}$

Всередині основної трапеції, є дві менших, з основами R і t, та r і t. Їх похилі, відповідно рівні R + t та r + t.

Тепер використовуючи все ту ж теорему Піфагора, зіставляємо рівняння:

$2\sqrt{Rt} + 2\sqrt{rt} = 2\sqrt{Rr}$

$\sqrt{t}(\sqrt{R} + \sqrt{r}) = \sqrt{Rr}$

$\sqrt{t} = \frac{\sqrt{Rr}}{\sqrt{R} + \sqrt{r}}$

$t = \frac{Rr}{(\sqrt{R} + \sqrt{r})^2}$

Ось і наш радіус.

Answer 2

Позначимо центри двох кіл як O1 та O2, де O1 відповідає колу з радіусом R, а O2 - колу з радіусом r. Означення дотикання зовні означає, що відстань між центрами кіл дорівнює сумі радіусів:

O1O2 = R + r.

Тепер нам потрібно знайти радіус більшого з кіл, яке дотикається до цих двох кіл, а також до їхньої спільної зовнішньої дотичної.

Позначимо центр такого кола як O3, а його радіус - r3. За умовою, коло O3 дотикається до кола O1 та кола O2 ззовні. Означаємо, що відстань від центра кола O3 до центрів O1 та O2 дорівнює сумі радіусів:

O3O1 = R + r3, O3O2 = r + r3.

Також важливо враховувати, що коло O3 дотикається до зовнішньої дотичної, що є спільною для кола O1 та кола O2. Це означає, що відстань від центра кола O3 до цієї дотичної дорівнює сумі радіусів кола O1 та O2:

O3T = R + r.

Зараз ми маємо систему рівнянь для визначення радіуса r3 та відстані OT:

1. O3O1 = R + r3,
2. O3O2 = r + r3,
3. O3T = R + r.

Розв'яжемо систему рівнянь відносно r3 та OT:

З рівняння (1) виразимо r3: r3 = O3O1 - R, З рівняння (2) виразимо r3: r3 = O3O2 - r, Порівнюючи два вирази для r3, отримаємо: O3O1 - R = O3O2 - r, З рівняння (3) виразимо OT: OT = O3T - R.

Підставимо значення r3 з першого рівняння у рівняння для OT:

OT = O3T - R = (O3O1 - R) - R = O3O1 - 2R.

Оскільки O3O1 - це відстань між центрами кіл O3 та O1, яка дорівнює R + r3, ми можемо підставити це значення:

OT = R + r3 - 2R = r3 - R = (O3O2 - r) - R = O3O2 - (r + R).

Позначимо O3O2 як x, тоді:

OT = x - (r + R).

Таким чином, OT буде різницею між відстанню між центрами кола O3 та O2 (яка дорівнює x) та сумою радіусів кола O1 та кола O2 (яка дорівнює r + R).

Отже, радіус більшого з кіл, що дотикаються до даних кіл та їхньої спільної зовнішньої дотичної, дорівнює OT, тобто:

OT = x - (r + R).